UVA12558 埃及分数 Egyptian Fractions

题意描述

题目描述的翻译挺清楚的了。

和原题的区别是多了禁用的分母。（还有毒瘤输入输出）

算法分析

显然这道题没有什么很好的数学方法来解决，所以可以使用搜索。

由于不确定深度，深搜显然无穷无尽。

所以一开始考虑使用广搜，如果不加改变空间复杂度显然呈指数级增长。

1. 使用启发式搜索来实现，但是此题显然没有必要。（有兴趣的可以自行尝试实验）
2. 使用迭代加深（ID）实现，代码较上一方法更容易实现。

不熟悉 ID 的同学可以先找别的题目了解一下。

假设当前已经到了 \(dep\) 个数，上一次使用的分母是 \(last\)，目前迭代的最深次数是 \(d\)。

目前得到的分数和的为 \(\frac{a}{b}\)，题目要求的总和是 \(\frac{x}{y}\)，当前选的分母是 \(num\)。

那么我们可以确定当前分母的上下界：

1. \(num\) 的最小值：\(\max\{last+1,\frac{1}{\frac{x}{y}+\frac{a}{b}}\}=\max\{last+1,\frac{b\times y}{b\times x-a\times y}\}\)。
2. \(num\) 的最大值：\(\frac{\frac{x}{y}-\frac{a}{b}}{d-dep}\)。

解释一下：

对于分母的最小值，由于分母单调递增，所以至少是上一个分母 \(+1\)。

但是由于显然 \(\frac{a}{b}+\frac{1}{num}\leq \frac{x}{y}\)，所以还要取 \(\min\)。

对于最大值，显然至少 \((d-dep)\times \frac{1}{num}+\frac{a}{b}\geq \frac{x}{y}\)。

因为分母单调递增，如果即使全部使用当前分母还是不能达到 \(\frac{x}{y}\) 就剪枝。

当然为了精度问题，我们可以将其转化为：

\[b\times y\times (d-dep)+a\times num\times y>=x\times b\times num
\]

注意一下这里 \(dep\) 指的是已经进行的个数（当前的未统计，也就是从 \(0\) 开始）。

到这里读者就可以开始尝试代码实现了，但是还要注意两点：

1. 分数要约分。
2. 十年 OI 一场空。

代码实现

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<set>
#define int long long
using namespace std;

int x,y,q,T,dep,tot=0;
bool vis[1010];
vector<int>now,ans;
set<int>s;

int read(){
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c<'0' || c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
	while(c>='0' && c<='9') x=x*10+c-48,c=getchar();
	return x*f;
}

int gcd(int x,int y){//最大公约数用来约分。
	while(y^=x^=y^=x%=y);
	return x;
}

void chck(){//更新答案。
	if(ans.empty() || ans.size()>now.size()){ans=now;return;}
	if(now.size()>ans.size()) return;
	for(int i=(int)now.size()-1;i>=0;i--){
		if(now[i]<ans[i]){
			ans=now;return;
		} else if(now[i]>ans[i])
			return;
	}
	return;
}

void dfs(int d,int last,int a,int b){
	//printf("%d %d %d %d\n",d,last,a,b);
	if(a*y>b*x) return;//貌似没什么用的小剪枝，避免出现 a/b>x/y 的现象。
	if(d>=dep){
		if(a*y==b*x) chck();
		return;
	}
	int p=gcd(a,b);//约分。
	a/=p,b/=p;
	int head=max(last,y*b/(x*b-y*a));//最小值。
	for(int i=head;b*y*(dep-d)+a*i*y>=x*b*i;i++){//最大值。
		if(s.count(i)) continue;//禁用的不用。
		now.push_back(i);
		dfs(d+1,i+1,a*i+b,b*i);//加上 1/i 继续 dfs。
		now.pop_back();//回溯。
	}
	return;
}

void init(){//多组数据记得清零。
	now.clear();ans.clear();
	memset(vis,false,sizeof(vis));
	s.clear();
	return;
}

void work(){
	init();
	x=read(),y=read(),q=read();
	int k;
	while(q--){k=read();s.insert(k);}//判断是否禁用。
	int p=gcd(x,y);x/=p,y/=p;//记得约分。
	for(dep=1;ans.empty();dep++)
		dfs(0,2,0,1);//注意初值。
	printf("Case %d: %d/%d=",++tot,x,y);//毒瘤输出。
	printf("1/%d",ans[0]);
	for(int i=1;i<(int)ans.size();i++)
		printf("+1/%d",ans[i]);
	puts("");
	return;
}

signed main(){
	T=read();
	while(T--) work();
	return 0;
}

完结撒❀。