2019 牛客多校第一场 D Parity of Tuples

题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/881/D

看此博客之前请先参阅吕凯飞的论文《集合幂级数的性质与应用及其快速算法》，论文中很多符号会被本文延用！

题目大意

　　给定一个 n * m 的二维矩阵和 k，定义$count(x) = \sum\limits_{i = 1}^{n} \prod\limits_{j = 1}^{m} [v_{i, j} \& x 所表示的二进制位有奇数个一] $，求如下式子：

$$\begin{align*}
\bigoplus\limits_{x = 0}^{2^k - 1} (count(x) * 3^x mod (10^9 + 7))
\end{align*}$$

分析

　　首先对于每一个数 x，给它的 k 位二进制位标号，从 1 ~ k，那么每一个数就可以唯一用一个集合 X 来表示，比如 k = 5, x = 10110，那么 X = {2, 3, 5}。

　　定义 U 为全集，包含全部 1 ~ k。（为了方便，后面对应字母的大写就代表这个数对应的集合）

　　于是我们可以重新定义 count(x) ：$count(x) = count(X) = \sum\limits_{i = 1}^{n} \prod\limits_{j = 1}^{m} [V_{i, j} \cap X 有奇数个元素] $。

　　进而：$count(X) = \frac{1}{2^m}\sum\limits_{i = 1}^{n} \prod\limits_{j = 1}^{m} (1 - (-1)^{|V_{i, j} \cap X|}) $，其中：$\prod\limits_{j = 1}^{m} (1 - (-1)^{|V_{i, j} \cap X|}) = 1 + \sum\limits_{j = 1}^{m} (-1)^{|X \cap V_{i, j}| + 1} + \sum\limits_{j_1 = 1}^{m} \sum\limits_{j_2 = 1}^{m} [j_1 \neq j_2] (-1)^{|X \cap V_{i, j_1} \cap V_{i, j_2}| + 2} + \dots + (-1)^{|X \cap (\bigcap\limits_{j = 1}^m V_{i, j})| + m}$

 　　又：$(-1)^{|Y|} * (-1)^{|X \cap T|} = (-1)^{|(X \cap T) \oplus Y|} = (-1)^{|(X \oplus Y) \cap (T \oplus Y)|}$

 

 　　????????????????????（求大佬指点QAQ）

 

　　所以$count(X) = \frac{1}{2^m}\sum\limits_{T \subseteq 2^U} f_T * (-1)^{T \cap X} = \frac{1}{2^m} * \hat{f_X}$

　　于是我们只要先算出$f$，然后通过 FWT 算出所有 count(X) 就好了。

　　时间复杂度为$O(n2^m + k2^k)$

代码如下