UVA 11651

题目链接：https://cn.vjudge.net/problem/UVA-11651

解题思路：

　　思路来源于网络。

　　DP + 矩阵快速幂。

　　设 dp[i][j] 为满足 score 为 i 且最后一位为 j 的数字的个数。则不难推出其状态转移方程：dp[i][j] = Sum( dp[i-d][k] ) { 其中d=(j-k)*(j-k), i!=k }。

　　因为 score 最高可到 1e9，一是开不出那么大的数组，二是会超时，所以我们需要再加上矩阵快速幂优化。

　　1、对于一个 dp[i][j]，只有 i > score >= max(i - (base-1)² ,0) 的这一部分有可能对其结果产生影响；

　　2、这个dp是有周期性，对于score而言，其周期为(base-1)² {也就是说，假如 dp[i][j] = dp[i-k1][b1] + dp[i-k2][b2] + dp[i-k3][b3]，那么对于任意ib = i + k*(base-1)² （k为任意整数），dp[ib][j] = dp[ib-k1][b1] + dp[ib-k2][b2] + dp[ib-k3][b3]） }。

　　由于有上述两个性质，故可以用矩阵快速幂优化。

　　额，感觉讲的不太好。。。在下尽力了。。。下面引用一位大神（http://www.cnblogs.com/AOQNRMGYXLMV/p/5256508.html）的一张图片。。。其实思路也是引用的（逃

　　当base=3时，有如下转移：（注意，其中倒数第三行有一个错误。至于哪里错了，就留给读者自己发现吧。）

AC代码：

 #include <cstdio>
 #include <cstring>

 using namespace std;
 typedef unsigned int ui;    //这里要是不用 unsigned int 的话就会报段错误。
 const int maxn=;
 ui dp[][];
 struct Matrix {
    ui mat[maxn][maxn];
 };
 Matrix Multiply(Matrix x,Matrix y,int n){
     Matrix tmp;
     for(int i=;i<maxn;i++){
         for(int j=;j<maxn;j++) tmp.mat[i][j]=;
     }
     for(int i=;i<n;i++){
         for(int j=;j<n;j++){
             for(int k=;k<n;k++){
                 tmp.mat[i][j]+=x.mat[i][k]*y.mat[k][j];
             }
         }
     }
     return tmp;
 }
 Matrix Fast_Power(Matrix a,int m,int n){
     Matrix res;
     for(int i=;i<maxn;i++){
         for(int j=;j<maxn;j++) res.mat[i][j]=;
     }
     for(int i=;i<n;i++)    res.mat[i][i]=;
     while(m){
         if(m&) res=Multiply(res,a,n);
         m>>=;
         a=Multiply(a,a,n);
     }
     return res;
 }
 int main(){
     int T,base,sc;
     Matrix temp,Right;
     scanf("%d",&T);
     for(int t=;t<=T;t++){
         scanf("%d%d",&base,&sc);
         printf("Case %d: ",t);
         memset(dp,,sizeof(dp));
         memset(Right.mat,,sizeof(Right.mat));
         memset(temp.mat,,sizeof(temp.mat));
         int ind=;
         dp[][]=;                 //注意：dp[0][0] = 0, dp[0][i] = 1 (i>0)
         Right.mat[][]=;
         for(int i=;i<base;i++){
             dp[][i]=;
             Right.mat[ind][]=dp[][i];
             ind++;
         }

         for(int i=;i<(base-)*(base-);i++){
             for(int j=;j<base;j++){
                 for(int k=;k<i;k++){
                     for(int z=;z<base;z++){
                         if(z!=j&&i-k==(z-j)*(z-j))  dp[i][j]+=dp[k][z];
                     }
                 }
                 Right.mat[ind][]=dp[i][j];
                 ind++;
             }
         }
         ui cnt=;
         for(int i=;i+base<(base-)*(base-)*base;i++)
             temp.mat[i][i+base]=;
         for(int i=;i<base;i++){
             for(int j=;j<(base-)*(base-);j++){
                 for(int k=;k<base;k++){
                     if(k!=i&&(base-)*(base-)-j==(i-k)*(i-k))    temp.mat[base*((base-)*(base-)-)+i][j*base+k]=;
                 }
             }
         }
         temp=Fast_Power(temp,sc,(base-)*(base-)*base);
         Matrix ans=Multiply(temp,Right,(base-)*(base-)*base);
         for(int i=;i<base;i++)    cnt=cnt+ans.mat[i][];
         printf("%u\n",cnt);

     }
     return ;
 }