再次进行中国余数定理

问题描述

我知道部分同学最近在看中国剩余定理,就这个定理本身,还是比较简单的:

假设m1,m2,…,mk两两互素,则下面同余方程组:

x≡a1(mod m1)

x≡ a2(mod m2)



x≡ak(mod mk)

在0 <= <m1m2 … mk内有唯一解。

记Mi = M / mi(1 <= i <= k),因为(Mi,mi)= 1 ,故有二个整数pi,qi满足Mipi + miqi = 1,如果记ei = Mi / pi,那么

会有:ei≡0(mod mj),j!=

iei≡1(mod mj),j = i

很容易理解,e1a1 + e2a2 + … + ekak就是方程组的一个解,这个解加减M的积分倍后就可以得到最小的非负积分解。

这就是中国剩余定理及其取代过程。

现在有一个问题是这样的:

一个正整数N除以M1余(M1-a),除以M2余(M2-a),除以M3余(M3-a),总之,除以MI余(MI-a),其中(a <Mi <100 i = 1,2,…I),求满足条件的最小的数。

输入项

输入数据包含多组测试实例,每个实例的第一行是两个整数I(1 <I <10)和a,其中,I表示M的个数,a的表示替代,紧接着的一行是I个整数M1,M1 … MI,I = 0并且a = 0结束输入,不处理。

输出量

对于每个测试实例,请在一行内部输出满足条件的最小的数。每个实例的输出占一行。

样本输入

2 1

2 3

0 0

样本输出

5

不能满足沪指的方程组,ExCrt完事

#include<iostream>
using namespace std;
#define LL long long
LL mi[1100],ai[1100];//mi为要模的数,ai为余数。
LL gcd(LL a, LL b)
{
return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}
void exgcd(LL a, LL b, LL &d, LL &x, LL &y)
{
if(!b)
{
d = a, x = 1, y = 0;
}
else
{
exgcd(b, a%b, d, y, x);
y -= x * (a / b);
}
}
LL CRT(LL l, LL r, LL *mi, LL *ai)
{
LL lcm = 1;
for(LL i = l; i <= r; i++)
lcm = lcm / gcd(lcm, mi[i]) * mi[i];
for(LL i = l+1; i <= r; i++)
{
LL A = mi[l], B = mi[i], d, x, y, c = ai[i] - ai[l];
exgcd(A, B, d, x, y);
if(c % d)
return -1;
LL mod = mi[i] / d;
LL k = ((x * c / d) % mod + mod) % mod;
ai[l] = mi[l] * k + ai[l];
mi[l] = mi[l] * mi[i] / d;
}
/*if(ai[l] == 0)
return lcm;*/ //保证结果为正整数
return ai[l];
}
int main()
{
LL t,n,i,aa;
while(cin>>n>>aa)
{
if(n==0) break;
for(i=1; i<=n; i++){
cin>>mi[i];
ai[i]=mi[i]-aa;
}
cout<<CRT(1ll,n,mi,ai)<<endl;
}
return 0;
}

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