hdu6026 dijkstra

题目链接：http://icpc.njust.edu.cn/Problem/Hdu/6026/

题意大致是：给定一个图，要求删边使他变成树，使得每个点到0的距离就是原图中0到这个点的最短路径。其实就是最短路树。

证明1: 对于每个结点我们只要知道有多少条路径到它的距离是最短路长度，记为cnt，那么就有cnt条边连着前驱结点，首先，能保证的是每个点都是0能够到达的，所以前驱结点一定是全部都能到达的，就是他们的d一定存在，所以我们只要删除cnt-1条边，留下一条就能建成最短路树。对于每个结点，我们扫描之后按照乘法规则将方案数相乘即可。

下面分三种情况来证明这是一棵树

①、假设有一个结点p连着一个结点q，有dis[q]<dis[p]+edge[p][q],那么这就构成了一个圈，我们删除edge[p][q]就变成了无圈而且从0都能到达这两个结点，对于其他边，我们也可以这样删除。

②、假设有一个结点p连着一个结点q，有dis[q]=dis[p]+edge[p][q]，我们从证明1中知道这样的p只会有一个，因为这样的边我们的算法中已经删的只剩下一条。所以这种情况不构成圈。

③、假设有一个结点p连着一个结点q，有dis[q]>dis[p]+edge[p][q]，与dis[q]是q的最短路长度矛盾。

综上：算法完成之后的图成为了树。

代码如下：

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef unsigned int ui;
 typedef long long ll;
 typedef unsigned long long ull;
 #define pf printf
 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
 #define prime1 1e9+7
 #define prime2 1e9+9
 #define pi 3.14159265
 #define lson l,mid,rt<<1
 #define rson mid+1,r,rt<<1|1
 #define scand(x) scanf("%llf",&x)
 #define f(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
 #define scan(a) scanf("%d",&a)
 #define mp(a,b) make_pair((a),(b))
 #define P pair<int,int>
 #define dbg(args) cout<<#args<<":"<<args<<endl;
 #define inf 0x3f3f3f3f
 const int maxn=;
 const int mod=1e9+;
 int n,m,t;
 int d[maxn],edge[maxn][maxn];
 void dijkstra(int src)
 {
     priority_queue<P,vector<P> ,greater<P> >q;
     f(i,,n-)d[i]=inf;
     d[src]=;
     q.push(mp(,src));
     while(!q.empty())
     {
         P now=q.top();
         q.pop();
         int u=now.second;
         if(d[u]<now.first)continue;
         f(i,,n-)
         {
             if(edge[u][i]&&d[i]>d[u]+edge[u][i])
             {
                 d[i]=d[u]+edge[u][i];
                 q.push(mp(d[i],i));
             }
         }
     }
 }
 int main()
 {
     //freopen("input.txt","r",stdin);
     //freopen("output.txt","w",stdout);
     std::ios::sync_with_stdio(false);
     while(scan(n)!=EOF)
     {
         char c;
         f(i,,n-)
             f(j,,n-)
             {
                 scanf(" %c",&c);
                 edge[i][j]=c-'';
             }
             ll ans=;
             dijkstra();
             f(i,,n-)
             {
                 int cnt=;
                 f(j,,n-)
                 {
                     if(edge[i][j]&&(d[j]+edge[j][i]==d[i]))cnt++;
                 }
                 ans=(ans*cnt)%mod;
             }
             pf("%lld\n",ans);
     }

  }