洛谷 P3935 Calculating 题解

原题链接

一看我感觉是个什么很难的式子……

结果读完了才发现本质太简单。

算法一

完全按照那个题目所说的，真的把质因数分解的结果保留。

最后乘。

时间复杂度：\(O(r \sqrt{r})\).

实际得分：\(40pts\).

（实在想不到比这得分更低的算法了）

算法二

机智的发现是个因数枚举。

然后枚举因数。

时间复杂度： \(O(r \sqrt{r})\).

实际得分： \(40pts\).

（只是码量少一点）

算法三

推式子。

\(f_x\) 其实就是 \(x\) 的因数个数。

我们只需分别求出 \(\sum_{i=1}^r f_i\) 和 \(\sum_{i=1}^{l-1} f_i\) ，再相减即可。

（日常前缀和思路）

\[\sum_{i=1}^r f_i
\]

\[= \sum_{i=1}^r \sum_{j|i} 1
\]

\[= \sum_{i=1}^r \sum_{j=1}^i [j|i]
\]

\[= \sum_{j=1}^r \sum_{i=1}^r [j|i]
\]

（这步的依据是：我们不枚举每个数的因数，而是考虑每个数作为其它因数所产生的贡献）

\[= \sum_{j=1}^r \lfloor \frac{r}{j} \rfloor
\]

（这步的依据是：从 \(1\) 到 \(n\) 共有 \(\lfloor \frac{r}{j} \rfloor\) 个数是 \(j\) 的倍数）

然后到这里，我们暴力枚举。

时间复杂度： \(O(r)\).

实际得分：\(60pts\).

算法四

暴力枚举个头？

答案摆在面前还在那暴力

明明是整除分块好吧。

不知道整除分块是啥？

浅谈整除分块

\(\texttt{OK}\)，你发现，这题竟然是 整除分块的模板题 。

时间复杂度： \(O(\sqrt{r})\).

实际得分：\(100pts\).

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll MOD=998244353;

inline ll read(){char ch=getchar();ll f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	ll x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}

int main(){
	ll l=read(),r=read();
	ll ans=0; l--;
	for(ll i=1,t;i<=r;i=t+1) {
		t=r/(r/i); ll len=(t-i+1)%MOD;
		ans=(ans+len*(r/i)%MOD)%MOD;
	} //这是 1~r 的
	for(ll i=1,t;i<=l;i=t+1) {
		t=l/(l/i); ll len=(t-i+1)%MOD;
		ans=(ans-len*(l/i)%MOD+MOD)%MOD; //这是 1~(l-1) 的
                //为了防止模出负数，我们加上 MOD 再模
	} printf("%lld\n",(ans+MOD)%MOD);
	return 0;
}