51nod 1438：方阵与完全平方数

1438 方阵与完全平方数

题目来源： mostleg

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 40 难度：4级算法题

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如果一个由正整数组成的n*n的方阵，满足以下条件：

1，每个数字各不相同

2，每行以及每列的和，都是互不相同的完全平方数

我们称这种方阵为超级完全平方数方阵。

输入n，输出一个n*n的超级完全平方数方阵。如果存在多个方阵满足条件，输出将所有元素按行、列顺序排列后字典序最小的一个答案。例如

n=3时，下面两个方阵都符合条件

 1   2   6

 3   4   9

21 30 49

21 30 49

 3   4   9

 1   2   6

按行、列顺序排列后，第一个方阵表示为[1, 2, 6, 3, 4, 9, 21, 30, 49]，第二个方阵表示为[21, 30, 49, 3, 4, 9, 1, 2, 6]。第一个方阵字典序更小一些。

如果不存在这样的方阵，输出No Solution。

Input

仅一行，为一个正整数n。（1 <= n <= 64）

Output

输出n行，每行为n个整数，之间用空格隔开，表示所求的n*n方阵。或者，输出No Solution。

Input示例

3

Output示例

1 2 6
3 4 9
21 30 49

真真正正地被虐了一下午。。。其实本质上就是一个dfs，但是做起来是真的麻烦啊，各种错误百出的。

官方题解：

首先，n=1时无解。

接下来处理n>=2的情况。由于题目要求字典序最小的方阵，使用贪心算法的思想，不难发现，每一行每一列其实只需要依靠最后一个数字（最右边和最下边的数字）就足够使得该行该列的和达到一个没有使用过的完全平方数。因此，按照题目中对方阵序列化的次序，对无关紧要的位置都尽力使用最小的数字；每当到达一行的最后一个位置，或者最后一行的时候，再去寻找符合题目要求的最后一个数字。这样做直到右下角的最后一个位置。

此时，最后一行和最后一列都需要满足和为完全平方数的条件。搜索最小的符合条件的数字。如果找不到解，就加大倒数第二个位置的数字（因为这样做对字典序的影响最小），再重新搜索最后一个位置。

怎样快速发现最后一个位置找不到解呢？不难发现，最后一列的和必定小于最后一行的和，设它们的差为d。我们可以枚举较小的一个完全平方数x，如果发现x的下一个完全平方数与x的差已经大于d，则在最后一个位置无解。

代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstring>
#include <map>
#pragma warning(disable:4996)
using namespace std;

int n,wang=0;
int square_flag[10000];
int val_flag[64005];
long long val[70][70];

int sear(int su)
{
	long long i;
	for (i = 2; ; i++)
	{
		if (i*i >= su && ((i<=9999&&square_flag[i]==0)||(i>9999)))
			return i;
	}
}

void dfs(int x,int y,long long value)
{
	if (wang==1)
	{
		return;
	}
	if (x == n&&y == n)
	{
		long long i, j, h, k, sum2 = 0, sum3 = 0;
		for (i = 1; i <= n - 1; i++)
		{
			sum2 += val[i][y];
		}
		for (i = 1; i <= n - 1; i++)
		{
			sum3 += val[x][i];
		}
		for (i = 2;; i++)
		{
			if ((i <= 9999 && square_flag[i] == 1))continue;
			double g = sqrt((double)(i*i - sum2 + sum3));

			if (i*i - sum2 > 0 && g == (long long)g && ((g<=9999)&&(square_flag[(long long)g] == 0)||g>9999))
			{
				val[x][y] = i*i - sum2;
				for (h = 1; h <= n; h++)
				{
					for (k = 1; k <= n; k++)
					{
						cout << val[h][k]<< " ";
					}
					cout << endl;
				}
				wang = 1;
				return;
			}
			long long wa = sum3 - sum2;
			if ((i + 1)*(i + 1) - (i*i) > wa)
			{
				long long op, sum_op = 0;
				for (op = 1; op <= n; op++)
				{
					sum_op += val[op][y - 1];
				}
				square_flag[(long long)sqrt((double)sum_op)] = 0;
				dfs(x,y-1,value+1);
				return;
			}
		}
	}
	else if (x == n)
	{
		long long i, sum2 = 0;
		for (i = 1; i <= n - 1; i++)
		{
			sum2 += val[i][y];
		}
		i = sear(sum2 + value);
		while (val_flag[i*i - sum2] == 1||square_flag[i]==1)
		{
			i++;
		}
		val[x][y] = i*i - sum2;
		val_flag[i*i - sum2] = 1;
		square_flag[i] = 1;

		dfs(x, y+1, value);
	}
	else if (y == n)
	{
		long long i,sum2=0;
		for (i = 1; i <= n - 1; i++)
		{
			sum2 += val[x][i];
		}
		i = sear(sum2 + value);

		while (val_flag[i*i - sum2] == 1)
		{
			i++;
		}
		val[x][y] = i*i - sum2;
		val_flag[i*i - sum2] = 1;
		square_flag[i] = 1;

		dfs(x + 1, 1, value);
	}
	else
	{
		val[x][y] = value;
		val_flag[value] = 1;
		if (val_flag[value+1] == 0)
		{
			dfs(x, y + 1, value+1);
		}
		else
		{
			while (val_flag[value+1] == 1)
			{
				value++;
			}
			dfs(x, y + 1, value+1);
		}
	}
}

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	if (n == 1)
	{
		cout << "No Solution" << endl;
	}
	else
	{
		memset(square_flag,0,sizeof(square_flag));
		memset(val_flag, 0, sizeof(val_flag));

		dfs(1, 1, 1);
	}
	return 0;
}

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