PAT Advanced 1067 Sort with Swap(0,*) (25) [贪⼼算法]

题目

Given any permutation of the numbers {0, 1, 2,…, N-1}, it is easy to sort them in increasing order. But what if Swap(0, *) is the ONLY operation that is allowed to use? For example, to sort {4, 0, 2, 1, 3} we may apply the swap operations in the following way:

Swap(0, 1) => {4, 1, 2, 0, 3}

Swap(0, 3) => {4, 1, 2, 3, 0}

Swap(0, 4) => {0, 1, 2, 3, 4}

Now you are asked to find the minimum number of swaps need to sort the given permutation of the first N nonnegative integers.

Input Specification:

Each input file contains one test case, which gives a positive N (<=105) followed by a permutation sequence of {0, 1, …, N-1}. All the numbers in a line are separated by a space.

Output Specification:

For each case, simply print in a line the minimum number of swaps need to sort the given permutation.

Sample Input:

10 3 5 7 2 6 4 9 0 8 1

Sample Output:

9

题目分析

已知N个任意排列的数字，要求最少交换次数对其排序（排序过程只能使用0与其他数字交换位置）

解题思路

1. 贪心算法：如果当前数字0在i号位置，找到数字i当前所处位置，将数字0和i交换

证明：

由于0必须参加交换操作，因此通过该策略，每步总是可以将一个非零的数回归本位。如果用0与其他不是该位置编号的数进行交换，显然会产生一个无效操作，因为后续操作中还是需要将刚才交换的数换回本位，因此该策略能将无效操作次数(与0交换的数没有回归本位的次数)降到最小，于是最优。

第一步: 0在7号位，因此将0与7交换，得到序列3502649781

第二步: 0在2号位，因此将0与2交换，得到序列3520649781

第三步: 0在3号位，因此将0与3交交换，得到序列0523649781

第四步: 0在0号位，因此将0与一个还未在本位的数字5交换，得到序列得到序列5023649781

第五步: 0在1号位，因此将0与1交换，得到序列5123649780

第六步: 0在9号位，因此将0与9交换，得到序列5123640789

第七步: 0在6号位，因此将0与6交换，得到序列5123046789

第八步: 0在4号位，因此将0与4交换，得到序列5123406789

第九步: 0在5号位，因此将0与5交换，得到序列0123456789

此时序列有序，总交换次数为9次。

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1. 定义数组int pos[N]，记录数字所在位置（如：pos[i]，表示数字i在pos[i]的位置）

2. 哨兵为数字0，pos[0]=0，不一定排序已完成
   • pos[0]==0，但是排序未完成，将0需要与不在本位的数字交换（因为如果0与已回到本位的数字交换会导致交换次数变多），定义数字k初始化为1，记录当前不在本位的最小数字（避免每次都循环遍历数组，查找未回到本位的数字（复杂度为O(n^2)有两个点会超时））
   • pos[0]==0，已完成排序（如何检测已完成排序？--定义变量left记录除0以外不在自己本位数字的个数，left=0表示排序完成）

注意点

1. 当0回到本位时，并不一定保证数字都已回到本位。此时需要找到一个未在本位的数字与0进行交换（如果选择已在本位的数字与0交换会导致交换次数增多）

Code

Code 01

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
int main(int argc, char * argv[]) {
	int N,m,cnt=0;//cnt--总交换次数
	scanf("%d",&N);
	int pos[N]= {0};// pos[i]--数字i的位置为pos[i]
	int left=N-1; // 除0以外不在本位的数字
	for(int i=0; i<N; i++) {
		scanf("%d", &m);
		pos[m]=i; // 数字m在位置i
		if(m==i&&m!=0)left--; // 除0以外已在本位，left--
	}
	int k=1; //当前最小不在本位的数字，避免0在本位但排序未完成时，每次都需要遍历数组找未在本位的数字（复杂度O(n^2)会超时）
	while(left>0) {
		if(pos[0]==0) { //如果排序未完成，0已回到本位，将0与最小不在本位的k进行互换
			while(k<N) {
				if(pos[k]!=k) { //如果k不在本位
					swap(pos[0],pos[k]);
					cnt++; //无需left++，因为k本来就不再本位，0在本位但是left记录的是非0不在本位的数字个数
					break;
				}
				k++; //如果k在本位，向前找最小不在本位的k
			}
		}
		while(pos[0]!=0) { //0不在本位
			swap(pos[0],pos[pos[0]]);
			left--; //有一个数字回归本位
			cnt++;
		}
	}
	printf("%d",cnt);
	return 0;
}

Code 02

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
int main(int argc, char * argv[]) {
	int N,m,cnt=0;
	scanf("%d",&N);
	int pos[N]= {0};
	for(int i=0; i<N; i++) {
		scanf("%d", &m);
		pos[m]=i;
	}
	for(int i=0; i<N; i++) { //个人理解，这里处理不是很好，因为已遍历过的i不能保证其已回到本位
		if(pos[i]!=i) {
			while(pos[0]!=0) {
				swap(pos[0],pos[pos[0]]);
				cnt++;
			}
			if(pos[i]!=i) {
				swap(pos[0],pos[i]);
				cnt++;
			}
		}
	}
	printf("%d",cnt);
	return 0;
}