数论专项测试——约数个数和（lucas的数论）

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cmath>
 #include <algorithm>
 using namespace std;
 typedef long long int64;
 const int mod=;
 #define maxn 2000005
 int top,tot,d[maxn],prim[maxn],mu[maxn];
 bool vis[maxn];
 int64 n,f[maxn],ans;
 void prepare(){
     tot=top=,memset(vis,,sizeof(vis)),mu[]=,mu[]=,f[]=;
     for (int i=;i<maxn;i++){
         if (vis[i]==){
             prim[++top]=i;
             d[i]=i;
             mu[i]=-;
             f[i]=;
         }
         for (int j=;j<=top;j++){
             if (i*prim[j]>=maxn) break;
             vis[i*prim[j]]=;
             if (i%prim[j]==){
                 d[i*prim[j]]=d[i]*prim[j];
                 mu[i*prim[j]]=;
                 f[i*prim[j]]=f[i/d[i]]*(f[d[i]]+);
                 break;
             }else{
                 d[i*prim[j]]=prim[j];
                 mu[i*prim[j]]=mu[i]*mu[prim[j]];
                 f[i*prim[j]]=f[i]*f[prim[j]];
             }
         }
     }
     for (int i=;i<maxn;i++) mu[i]+=mu[i-];
     for (int i=;i<maxn;i++) f[i]=(f[i-]+f[i])%mod;
 }
 #define maxp 100007
 #define maxm 4000005
 int now[maxp],prep[maxm];
 int64 val[maxm],id[maxm];
 void insert(int x,int64 y){
     int pos=x%maxp;
     prep[++tot]=now[pos],now[pos]=tot,val[tot]=y,id[tot]=x;
 }
 int64 find(int x){
     int pos=x%maxp;
     for (int i=now[pos];i;i=prep[i]){
         if (id[i]==x) return val[i];
     }
     return -;
 }
 int64 Mu(int x){
     if (x<maxn) return mu[x];
     int64 temp=find(x),t;
     if (temp!=-) return temp;
     temp=;
     for (int j,i=;i<=x;i=j+){
         j=x/(x/i);  t=Mu(x/i);
         temp=((temp-1LL*(j-i+)*t%mod)%mod+mod)%mod;
     }
     insert(x,temp); return temp;
 }
 int64 F(int x){
     if (x<maxn) return f[x];
     int64 temp=;
     for (int j,i=;i<=x;i=j+){
         j=x/(x/i);
         temp=(temp+1LL*(x/i)*(j-i+)%mod)%mod;
     }
     return temp%mod;
 }
 int main(){
     int64 temp;
     prepare();
     scanf("%lld",&n);
     ans=;
     for (int j,i=;i<=n;i=j+){
         j=n/(n/i); temp=F(n/i);
         ans=(ans+1LL*(Mu(j)-Mu(i-))%mod*temp%mod*temp%mod)%mod;
     }
     printf("%lld\n",(ans%mod+mod)%mod);
     return ;
 }

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4176

题目大意：

 答案对10^9+7取模。  1<=n<=10^9，单组询问。

吐槽：这是一个对我来说启发很大的题，加深了我对杜教筛的理解。

做法：式子不好写，还是用图好了。

然后用莫比乌斯反演继续化简：

这样就好办了，floor（n/k）最多只有O（sqrt（n））级别的取值，维护mu的前缀和？没错，既然不能预处理，那我们就杜教筛，F数组呢，没错，F[i]=sigam(i/j),1<=j<=i,可以sqrt（n）级别的复杂度做出，如果我们尽可能多的预处理出mu和F，那么可以把总复杂度降至O（n^(2/3)）,足以过此题。