[知识点]Cantor展开

// 此博文为迁移而来，写于2015年3月14日，不代表本人现在的观点与看法。原始地址：http://blog.sina.com.cn/s/blog_6022c4720102vtyo.html

1、含义

       一个很简单的概念哈，其实它的本质就是将你当前状态压缩成一个数，且状态与数一一对应，故一般用在哈希判重，因为有时哈希判重会存不下，或者根本不可能。这是一项辅助的知识点，故不详解。

 

2、公式

       X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[1]*0，其中,a[i]为整数,并且0<=a[i]<=i<=n。a[i]的意义参见举例中的解释部分。

       举例

       例如，3 5 7 4 1 2 9 6 8 展开为 98884。因为X=2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884.

       排列的第一位是3，比3小的数有两个，以这样的数开始的排列有8!个，因此第一项为2*8! 排列的第二位是5，比5小的数有1、2、3、4，由于3已经出现，因此共有3个比5小的数，这样的排列有7!个，因此第二项为3*7!

以此类推，直至0*0!。

 

3、例题

       很好理解的东西我们就直接通过例题来看如何实现。

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数字矩阵（number）

 

问题描述

还别说ZZD平常毛毛躁躁的，考场上的他可毫不含糊，孤身闯阵，奋勇杀敌，多般神勇，一鼓作气地攻下了第一题，第二题，第三题，真可谓一夫当关，万夫莫开啊！当下正浩浩荡荡地朝第四题前进呢。但是，敌人也不是吃干饭的，经受了一二三题的失败后，他们摸清了一个事实，那就是ZZD率领的银河站队所摆的战阵------银河九宫阵（指横、竖和对角线上的战士战斗力之和都等于15的九宫格，每个格子中的数都在1～9之间，并且不重复）非常厉害，所以在第三题之后他们就对这种战阵进行了超强的光子干扰，也就是使阵中每个战士的战斗资料相互间打乱，这样就让战阵的战斗力大打折扣。难怪刚才刷第四题的时候特别困难，ZZD恍然大悟。而他只会领兵作战，至于修复资料的工作自然就叫给了变成天才的你来解决。所以你只需告诉ZZD资料最少移动的步数（指战斗值上下或左右相交换），如果怎么移动都无法恢复战阵，则输出-1。

 

输入文件（number.in）

一共有50个战阵给你修复；

每个战阵用一个3*3的数字矩阵表示，每一个数表示一个战士的战斗值；

相邻两个数字距阵不用空行隔开。

 

输出文件（number.out）

应该有50行，每行对应一个距阵修复的最少步数，如无法修复，则为-1。

 

输入样例：

1 5 2

6 9 3

8 4 7

1 8 6

4 2 3

9 5 7

5 1 9

4 8 3

2 7 6

 

输出样例

5

6

6

 

样例说明

样例就只给出3个供大家参考啦！

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题解：这道题是搜索题，但是不是直接暴搜就搜得到的。不难看出，这道题如果不在BFS的过程中用哈希判重，那么将会爆栈。但是，我们总不可能用九维数组来存hash吧？正如今天的主题一样，在哈希判重时，它需要用到康拓展开。康拓展开为什么能够在这里使用？因为对于栈内每一个矩阵，都有且仅有1-9这9个数字且不重复，所以康拓展开式和矩阵一一对应，可以很方便的判重了。

 

代码：

#include<cstdio>

#include<cstring>

#define MAXN 100005

 

const int JC[9]={0,1,2,6,24,120,720,5040,40320};

struct Queue

{

　　int map[4][4],dep;

};

Queue q[MAXN]; 

int hash[3628810];

 

void Copy(int head,int tail)

{

　　for (int i=1;i<=3;i++)

　　　　for (int j=1;j<=3;j++)

　　　　　　q[tail].map[i][j]=q[head].map[i][j];

}

 

void Swap(int x1,int y1,int x2,int y2,int tail)

{

　　int temp;

　　temp=q[tail].map[x1][y1];

　　q[tail].map[x1][y1]=q[tail].map[x2][y2];

　　q[tail].map[x2][y2]=temp;

}

 

int Cantor(int tail)

{

　　int count[10],ans=0,now=8,tot=0,temp[10];

　　memset(count,0,sizeof(count));

　　for (int i=1;i<=3;i++)

　　　　for (int j=1;j<=3;j++)

　　　　{

　　　　　　tot++;

　　　　　　temp[tot]=q[tail].map[i][j];

　　　　}

　　for (int i=1;i<=8;i++)

　　{

　　　　for (int j=i+1;j<=9;j++)

　　　　　　if (temp[i]>temp[j]) count[now]++;

　　　　ans+=JC[now]*count[now];

　　　　now--;

　　}

　　return ans;

}

 

int Check(int tail)

{

　　if (q[tail].map[1][1]+q[tail].map[1][2]+q[tail].map[1][3]!=15) return 0;

　　if (q[tail].map[2][1]+q[tail].map[2][2]+q[tail].map[2][3]!=15) return 0;

　　if (q[tail].map[3][1]+q[tail].map[3][2]+q[tail].map[3][3]!=15) return 0;

　　if (q[tail].map[1][1]+q[tail].map[2][1]+q[tail].map[3][1]!=15) return 0;

　　if (q[tail].map[1][2]+q[tail].map[2][2]+q[tail].map[3][2]!=15) return 0;

　　if (q[tail].map[1][3]+q[tail].map[2][3]+q[tail].map[3][3]!=15) return 0;

　　if (q[tail].map[1][1]+q[tail].map[2][2]+q[tail].map[3][3]!=15) return 0;

　　if (q[tail].map[3][1]+q[tail].map[2][2]+q[tail].map[1][3]!=15) return 0;

　　return 1;

}

 

int BFS()

{

　　int head=1,tail=2;

　　while (head!=tail)

　　{

　　　　for (int i=1;i<=2;i++)

　　　　　　for (int j=1;j<=3;j++)

　　　　　　{

　　　　　　　　Copy(head,tail);

　　　　　　　　Swap(i,j,i+1,j,tail);

　　　　　　　　int NowCantor=Cantor(tail);

　　　　　　　　if (hash[NowCantor]!=1)

　　　　　　　　{

　　　　　　　　　　hash[NowCantor]=1;

　　　　　　　　　　q[tail].dep=q[head].dep+1;

　　　　　　　　　　if (Check(tail)==1) return q[tail].dep;

　　　　　　　　　　tail++;

　　　　　　　　}

　　　　　　}

　　　　for (int i=1;i<=3;i++)

　　　　　　for (int j=1;j<=2;j++)

　　　　　　{

　　　　　　　　Copy(head,tail);

　　　　　　　　Swap(i,j,i,j+1,tail);

　　　　　　　　int NowCantor=Cantor(tail);

　　　　　　　　if (hash[NowCantor]!=1)

　　　　　　　　{

　　　　　　　　　　hash[NowCantor]=1;

　　　　　　　　　　q[tail].dep=q[head].dep+1;

　　　　　　　　　　if (Check(tail)==1) return q[tail].dep;

　　　　　　　　　　tail++;

　　　　　　　　}

　　　　　　}

　　　　head++;

　　}

　　return -1;

} 

 

int main()

{

　　freopen("number.in","r",stdin);

　　freopen("number.out","w",stdout);

　　for (int t=1;t<=50;t++)

　　{

　　　　for (int i=1;i<=3;i++)

　　　　　　for (int j=1;j<=3;j++)

　　　　　　　　scanf("%d",&q[1].map[i][j]);

　　　　printf("%d\n",BFS());

　　　　memset(hash,0,sizeof(hash));

　　}

　　return 0;

}