[luogu3706]硬币游戏
(可以参考洛谷4548,推导过程较为省略)
定义$g_{i}$表示随机$i$次后未出现给定字符串的概率,$f_{k,i}$表示随机$i$次后恰好出现$s_{k}$(指第$k$个字符串)的概率,设两者的生成函数分别为$G(x)$和$F_{k}(x)$
同样,考虑如何去表示$P(前i个字符中未出现给定字符串且最后m个字符为s_{t})$:
1.通过$g_{i}$,此时即为$\frac{g_{i}}{2^{m}}$;
2.通过$f_{k,i}$(注意虽然最后$m$个字符为$s_{t}$,但可能之前$s_{k}$出现了),枚举第一个出现$s_{k}$的位置$i+j$(右端点),同时必然要有$s_{t}$的前$j$个字符等于$s_{k}$末尾$j$个字符,此时转移的系数为$\frac{1}{2^{m-j}}$
记$S_{t,k}=\{j|s_{t}[0,j)=s_{k}[m-j,m)\}$,两者相等即$\forall 1\le t\le n,\frac{g_{i}}{2^{m}}=\sum_{k=1}^{n}\sum_{j\in S_{t,k}}\frac{f_{k,i+j}}{2^{m-j}}$,写成生成函数的形式即$\forall 1\le t\le n,G(x)=\sum_{k=1}^{n}\sum_{j\in S_{t,k}}\frac{2^{j}F_{k}(x)}{x^{j}}$
关于$S_{i,j}$的计算可以使用AC自动机或哈希,复杂度为$o(n^{2}m)$(虽然AC自动机可以$o(nm)$构建,但枚举$j$还是要$o(n^{2}m)$的)
答案即求$F_{k}(1)$,代入$x=1$后可以得到$n$个等式,但同时新增$G(1)$,再利用$\sum_{k=1}^{n}F_{k}(1)=1$就是恰好$n+1$个等式和变量,高斯消元即可,时间复杂度为$o(n^{3})$
(代码中的写法是以$G(1)$为常数去表示$F_{k}(1)$,再累加求出$G(1)$)
(另外精度问题很是神奇,可能数据中$n$和$m$的并不太大?)


1 #include<bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 #define N 305
4 #define eps 1e-10
5 vector<int>v[N];
6 queue<int>q;
7 int V,n,m,nex[N*N],len[N*N],ch[N*N][31];
8 double sum,mi[N],vis[N*N],a[N][N],ans[N];
9 char s[N];
10 void add(int p){
11 int k=1;
12 for(int i=0;i<m;i++){
13 if (!ch[k][(s[i]=='T')]){
14 ch[k][(s[i]=='T')]=++V;
15 len[V]=len[k]+1;
16 }
17 k=ch[k][(s[i]=='T')];
18 v[p].push_back(k);
19 }
20 }
21 void build(){
22 nex[1]=1;
23 for(int i=0;i<2;i++)
24 if (ch[1][i]){
25 nex[ch[1][i]]=1;
26 q.push(ch[1][i]);
27 }
28 while (!q.empty()){
29 int k=q.front();
30 q.pop();
31 for(int i=0;i<2;i++)
32 if (ch[k][i]){
33 int j=nex[k];
34 while ((j>1)&&(!ch[j][i]))j=nex[j];
35 if (ch[j][i])j=ch[j][i];
36 nex[ch[k][i]]=j;
37 q.push(ch[k][i]);
38 }
39 }
40 }
41 void guess(){
42 for(int i=1;i<=n;i++){
43 int t=-1;
44 for(int j=i;j<=n;j++)
45 if (abs(a[i][j])>=eps){
46 t=j;
47 break;
48 }
49 for(int j=i;j<=n;j++)swap(a[i][j],a[t][j]);
50 double s=a[i][i];
51 for(int j=i;j<=n+1;j++)a[i][j]/=s;
52 for(int j=i+1;j<=n;j++){
53 double s=a[j][i];
54 for(int k=i;k<=n+1;k++)a[j][k]-=s*a[i][k];
55 }
56 }
57 for(int i=n;i;i--){
58 ans[i]=a[i][n+1];
59 for(int j=1;j<i;j++){
60 a[j][n+1]-=ans[i]*a[j][i];
61 a[j][i]=0;
62 }
63 }
64 }
65 int main(){
66 scanf("%d%d",&n,&m);
67 V=1;
68 for(int i=1;i<=n;i++){
69 scanf("%s",s);
70 add(i);
71 }
72 build();
73 mi[0]=1;
74 for(int i=1;i<=m;i++)mi[i]=mi[i-1]*2;
75 for(int i=1;i<=n;i++){
76 for(int j=0;j<m;j++)vis[v[i][j]]=mi[j];
77 a[i][n+1]=1;
78 for(int j=1;j<=n;j++)
79 for(int k=v[j].back();k>1;k=nex[k])a[i][j]+=vis[k];
80 for(int j=0;j<m;j++)vis[v[i][j]]=0;
81 }
82 guess();
83 for(int i=1;i<=n;i++)sum+=ans[i];
84 for(int i=1;i<=n;i++)printf("%.6f\n",ans[i]/sum);
85 }
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