洛谷 P2515 [HAOI2010]软件安装 解题报告

P2515 [HAOI2010]软件安装

题目描述

现在我们的手头有\(N\)个软件，对于一个软件\(i\)，它要占用\(W_i\)的磁盘空间，它的价值为\(V_i\)。我们希望从中选择一些软件安装到一台磁盘容量为\(M\)计算机上，使得这些软件的价值尽可能大（即\(V_i\)的和最大）。

但是现在有个问题：软件之间存在依赖关系，即软件i只有在安装了软件\(j\)（包括软件\(j\)的直接或间接依赖）的情况下才能正确工作（软件\(i\)依赖软件\(j\))。幸运的是，一个软件最多依赖另外一个软件。如果一个软件不能正常工作，那么它能够发挥的作用为0。

我们现在知道了软件之间的依赖关系：软件\(i\)依赖软件\(D_i\)。现在请你设计出一种方案，安装价值尽量大的软件。一个软件只能被安装一次，如果一个软件没有依赖则\(D_i=0\)，这时只要这个软件安装了，它就能正常工作。

输入输出格式

输入格式：

第1行：\(N,M\) \((0<=N<=100,0<=M<=500)\)

第2行：\(W_1,W_2,...W_i,...,W_n\) \((0<=W_i<=M)\)

第3行：\(V_1, V_2, ..., V_i, ..., V_n\) \((0<=V_i<=1000)\)

第4行：\(D_1, D_2, ..., D_i, ..., D_n\) \((0<=D_i<=N, D_i≠i)\)

输出格式：

一个整数，代表最大价值

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咋一看十分的像背包，但里面的东西互相拧成一坨相互依赖之类的，我们需要稍微简化一下问题。

一个软件最多依赖另外一个软件，把被别人依赖的某个软件向依赖它的软件连上一条有向边，可以得出，每个点的入度均为1，这是啥？一棵树啊。

然而这样想就出现了问题，万一有环呢？好说，把环给缩掉就行了。我们把新出现的一个森林连上一个共同的虚根0，构成一颗树，于是问题就转换成了树形DP

需要注意的是，一个点要用它子树，当且仅当这个子树的根被选上时才可用。

\(dp[i][j]\)代表以\(i\)为根的树，在容量为\(j\)的时候，没有处理它的根，所得到的最大价值。

转移：\(dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-k][j]+dp[son][k-w[son]]+v[son])\)

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#include <cstdio>
int max(int x,int y){return x>y?x:y;}
int min(int x,int y){return x<y?x:y;}
const int N=104;
const int M=502;
struct Edge
{
    int to,next;
}edge[N];
int head[N],cnt=0;
void add(int u,int v)
{
    edge[++cnt].next=head[u];edge[cnt].to=v;head[u]=cnt;
}
int n,m,w[N],v[N];
int time=0,low[N],dfn[N],vis[N],s[N],tot=0,ha[N];
int n0=0,w0[N],v0[N],in[N],g[N][N];
void tarjan(int now)
{
    low[now]=dfn[now]=++time;
    s[++tot]=now;
    vis[now]=1;
    for(int i=head[now];i;i=edge[i].next)
    {
        int v=edge[i].to;
        if(!dfn[v])
        {
            tarjan(v);
            low[now]=min(low[now],low[v]);
        }
        else if(vis[v])
            low[now]=min(low[now],dfn[v]);
    }
    if(dfn[now]==low[now])
    {
        int k;n0++;
        do
        {
            k=s[tot--];
            vis[k]=0;
            ha[k]=n0;
            w0[n0]+=w[k];
            v0[n0]+=v[k];
        }while(k!=now);
    }
}
int dp[N][M];//以i为根(不装)的子树装j时的最大价值
void dfs(int now)
{
    for(int i=1;i<=n0;i++)
        if(g[now][i])
        {
            dfs(i);
            for(int j=m;j>=w0[i];j--)
                for(int k=w0[i];k<=j;k++)
                    dp[now][j]=max(dp[now][j],dp[i][k-w0[i]]+v0[i]+dp[now][j-k]);
        }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);int to;
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",w+i);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",v+i);
    for(int i=1;i<=n;i++) {scanf("%d",&to);if(to) add(to,i);}
    for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=head[i];j;j=edge[j].next)
        {
            int v=edge[j].to;
            if(ha[i]!=ha[v]&&!g[ha[i]][ha[v]])
                g[ha[i]][ha[v]]=1,in[ha[v]]++;
        }
    for(int i=1;i<=n0;i++)
        if(!in[i]) g[0][i]=1;;
    dfs(0);
    printf("%d\n",dp[0][m]);
    return 0;
}

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2018.6.13