vijos 1605 双栈排序 - 贪心 - 二分图

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题目大意

　　双栈排序，问最小字典序操作序列。

　　不能发现两个数$a_{j}, a_{k}\ \ (j < k)$不能放在同一个栈的充分必要条件时存在一个$i$使得$j < k < i$且$a_{i} < a_{j} < a_{k}$。

　　证明？写个dfs就证完了（就是考虑任意一个三元组）。

　　然后可建图，对于满足上面条件的$(j, k)$，$j$和$k$连一条无向边。

　　显然必要条件时图不存在奇环，即能够二分染色。

　　再证明一下这是必要条件。

　　我们先构造一个做法：硬点二分染色完白点扔第一个栈里，黑点扔第二个栈里，当当前需要输出的数能够输出的时候就输出，否则继续加数。

　　我们只需要证明每个数都能被正确的输出就行了。

　　显然第1个数一定能被正确地输出。

　　假设前$k - 1\ \ \ (k > 1)$个数已经被正确地输出了，考虑第$k$个数。

• 第$k$个数不在栈中，那么还剩在序列中，我们把之间的数加入栈中，再把它加入弹出，它就正确地输出了。
• 第$k$个数在栈中
  • 某个栈的栈顶，直接弹出，正确地输出了。
  • 否则它上面一定存在一个数$x > k$使得它无法弹出。
    • 如果$1, 2, \dots, k - 1$中都在$k$之前，那么输出完前$k - 1$个数后，$k$入栈后就可以弹出并输出了，与做法矛盾。
    • 否则存在一个$y < x$在$k$之后，由建图方法和染色可知$k, x$不能在同一个栈中，矛盾。

　　因此图能够二分染色是存在解的充分必要条件。

　　然后拿个栈直接贪心就好了。每次选择能够进行的字典序最小的操作。

Code

 /**
  * Vijos
  * Problem#1605
  * Accepted
  * Time: 42ms
  * Memory: 1.363m
  */
 #include <iostream>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <cstdio>
 using namespace std;
 typedef bool boolean;

 const int N = 1e3 + ;

 int n;
 int ar[N];
 int mns[N];
 boolean g[N][N];

 inline void init() {
     scanf("%d", &n);
     for (int i = ; i <= n; i++)
         scanf("%d", ar + i);
 }

 int col[N];
 boolean color(int p, int col) {
     if (::col[p] != -)
         return ::col[p] == col;
     ::col[p] = col;
     for (int i = ; i <= n; i++)
         if (g[p][i] && !color(i, col ^ ))
             return false;
     return true;
 }

 int s1[N], s2[N];
 int tp1, tp2;

 inline void solve() {
     mns[n] = ar[n];
     for (int i = n - ; i; i--)
         mns[i] = min(mns[i + ], ar[i]);
     for (int i = ; i < n; i++)
         for (int j = i + ; j < n; j++)
             if (ar[i] < ar[j] && mns[j] < ar[i])
                 g[i][j] = g[j][i] = true;
     memset(col, -, sizeof(col));
     for (int i = ; i <= n; i++)
         if (col[i] == - && !color(i, )) {
             puts("");
             return;
         }

     int cur = , p = ;
     while (cur <= n) {
         if (p <= n && !col[p] && s1[tp1] != cur)
             putchar('a'), s1[++tp1] = ar[p++];
         else if (s1[tp1] == cur)
             putchar('b'), tp1--, cur++;
         else if (p <= n && col[p] && s2[tp2] != cur)
             putchar('c'), s2[++tp2] = ar[p++];
         else
             putchar('d'), tp2--, cur++;
         putchar(' ');
     }
 }

 int main() {
     init();
     solve();
     return ;
 }