BZOJ2694: Lcm
题目:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2694
题解:令f[i]表示i是否有平方因子,则f[i]是积性函数,mu[i]表示莫比乌斯函数。
经过balabala的推导,我们得出ans=sigma(f[i/j]*mu[j]*j*j*sum(n/i,m/i))) sum(x,y)=x*(x+1)/2*y*(y+1)/2
然后我们定义新函数 g[i]=sigma(f[i/d]*mu[d]*d*d) 因为积性函数的狄利克雷卷积仍然是积性函数,所以我们考虑把g数组线筛出来,然后就可以做到sqrt(n)回答询问了。
考虑i%p[j]==0的这部分(初值和i%p[j]!=0可以很简单算出来),如果k=i*p[j]中有p[j]的次数超过2,那么g[k]=0
这是因为我们要在f 和 mu 上分 p[j]的指数,>2时由鸽巢原理知必有一个分到2个以上,那么乘积就是0.
否则 p[j] 的指数为2,我们必须在 f 上分一个,mu上分一个,这样g[k]=g[i/p[j]]*-p[j]*p[j]*p[j] (第一个p[j]是分到f上的,负号是给 mu 的,p[j]*p[j]则是d*d,还是利用了积性函数的性质)
既然是积性函数并且i/p[j]和p[j]*p[j]互质,那么g[k]就等于g[t]*g[p[j]*p[j]] 注意t==1时要特判。
然后这题就做完了。
因为模数奇特所以直接爆int即可。
代码:
#include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> #include<iostream> #include<vector> #include<map> #include<set> #include<queue> #include<string> #define inf 1000000000 #define maxn 4000000+5 #define maxm 4000000 #define eps 1e-10 #define ll long long #define pa pair<int,int> #define for0(i,n) for(int i=0;i<=(n);i++) #define for1(i,n) for(int i=1;i<=(n);i++) #define for2(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++) #define for3(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--) #define for4(i,x) for(int i=head[x],y=e[i].go;i;i=e[i].next,y=e[i].go) #define for5(n,m) for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++) #define mod 1073741823 using namespace std; inline int read() { int x=,f=;char ch=getchar(); while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();} while(ch>=''&&ch<=''){x=*x+ch-'';ch=getchar();} return x*f; }
int tot,p[maxn],g[maxn];
bool v[maxn];
void get()
{
g[]=;
for2(i,,maxm)
{
if(!v[i])p[++tot]=i,g[i]=i-i*i;
for1(j,tot)
{
int k=i*p[j];
if(k>maxm)break;
v[k]=;
if(i%p[j])g[k]=g[i]*g[p[j]];
else
{
int t=i/p[j];
if(t%p[j]==)g[k]=;
else g[k]=-g[t]*p[j]*p[j]*p[j];
break;
}
}
}
for1(i,maxm)g[i]+=g[i-];
}
inline int sum(int n,int m)
{
return n*(n+)*m*(m+)/;
} int main() { freopen("input.txt","r",stdin); freopen("output.txt","w",stdout);
get(); int T=read();
while(T--)
{
int n=read(),m=read(),ans=;
if(n>m)swap(n,m);
for(int i=,j;i<=n;i=j+)
{
j=min(n/(n/i),m/(m/i));
ans+=sum(n/i,m/i)*(g[j]-g[i-]);
}
printf("%d\n",ans&mod);
} return ; }
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