Hex棋

Hex棋，又叫六角棋，译作海克斯棋。据说这个游戏是约翰·纳什发明的。网上并没有太多介绍，第一次听说是在“中国大学生计算机博弈大赛”官网上。

棋盘为11×11的六边形小格子组成，它是一种两人添子类游戏（跟五子棋一样）。



它的游戏规则是：两人轮流下子，直到有一方用棋子沟通了两条边（比如先手沟通上下两边则胜利，后手沟通左右两边则胜利）

这是一个先手必胜的游戏

这是一个没有和棋的游戏（我认为这就是这个游戏的魅力所在，我们要证明的就是它到底是先手必胜还是先手必败）

如何证明这个游戏不可能和棋呢？

这个问题等价于“给定一个下满棋盘的Hex棋，必然能够找到一条线沟通两边”

实际上，对于一个平面图，要想隔断两条边必然要连接另两条边。这句话就是证明。

Hex棋显然是一个平面图，因为它的棋盘边没有交叉。

如何证明这个游戏先手必胜呢？

假设这个游戏后手必胜，那么先手从第一个子就模拟后手的必胜走法，从而先手必胜。推出矛盾，所以这个游戏先手必胜。

一言以蔽之，这个游戏是一个子越多越好的游戏。如果这个游戏子多反而是一种累赘，那么先手不一定必胜。

这是一个状态挺多的游戏，一般添子类游戏状态都很多。

它的状态数多达10的56次幂之多，比象棋（中象国象差不多）的10的40次幂还要多，但是感觉Hex比象棋简单多了。

下面统计一下添子类游戏（不包括围棋，围棋是添子吃子类游戏，象棋是不添子吃子类游戏）的状态数

0 0
1 0
2 13.0
3 2509.0
4 5183757.0
5 82109232401.0
6 1.2159122802580694e+16
7 1.6639278209049916e+22
8 2.0909903631443116e+29
9 2.4017537903420486e+37
10 2.5134265191388166e+46
11 2.390899903133055e+56
12 2.063808117058896e+67
13 1.6144415223776914e+79
14 1.1433467158917951e+92
15 7.324613324267597e+105
16 4.24188344332279e+120
17 2.2195633321116892e+136
18 1.0488619415965058e+153
19 4.4745506430191615e+170

python代码如下

def c(x, y):
    ans = 1
    for i in range(1, y + 1):
        ans = ans * (x + 1 - i) / i
    return ans

for n in range(20):
    print(n,sum([c(n * n, i) * c(n * n - i, i) for i in range(n * n // 2)]))

这个游戏的棋盘其实可以变成如下这样：

from  PIL import Image, ImageDraw

w = 30
n = 11

img = Image.new("RGBA", (w * n, w * n), "orange")
draw = ImageDraw.ImageDraw(img)
for i in range(n):
    draw.line((w / 2, w / 2 + i * w, w / 2 + (n - 1) * w, w / 2 + i * w), 'black', 3)
    draw.line((w / 2 + i * w, w / 2, w / 2 + i * w, w / 2 + (n - 1) * w), 'black', 3)
    draw.line((w / 2, w / 2 + i * w, w / 2 + i * w, w / 2), "black", 3)
    draw.line((w / 2 + (n - 1) * w, w / 2 + i * w, w / 2 + i * w, w / 2 + (n - 1) * w), "black", 3)
img.show()
img.save("haha.jpg")