算法训练 最大的算式 DP

算法训练 最大的算式

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问题描述

　　题目很简单，给出N个数字，不改变它们的相对位置，在中间加入K个乘号和N-K-1个加号，（括号随便加）使最终结果尽量大。因为乘号和加号一共就是N-1个了，所以恰好每两个相邻数字之间都有一个符号。例如：

　　N=5，K=2，5个数字分别为1、2、3、4、5，可以加成：

　　1*2*(3+4+5)=24

　　1*(2+3)*(4+5)=45

　　(1*2+3)*(4+5)=45

　　……

输入格式

　　输入文件共有二行，第一行为两个有空格隔开的整数，表示N和K，其中（2<=N<=15, 0<=K<=N-1）。第二行为 N个用空格隔开的数字（每个数字在0到9之间）。

输出格式

　　输出文件仅一行包含一个整数，表示要求的最大的结果

样例输入

5 2

1 2 3 4 5

样例输出

120

样例说明

　　(1+2+3)*4*5=120

思路：提示说按照dp处理，就往这边想了，先确定了dp[i][j]表示前i个数中使用了j个乘号的所得到最大值。

纠结于插入的位置，所以只好再设一重循环，表示可以插入的位置，范围从2到n。

动态转移方程是根据01背包的思想转化得来的，选定插入位置，前面的最大值乘后边从插入位置到i之前的总和，原来想的是只乘一个数，但是一起乘总比一个去乘要大。

所以状态转移方程：dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[p-1][j-1]*(p到i之间的总和));

最后就是初始状态的考虑，dp[i][0]表示没有用到乘号，所以dop[i][0]就是前i项的和。

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long dp[16][16];
long long ans[16];
void init(int n,int k)
{
    long long num;
    long long sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&num);
        ans[i]=num;
        sum+=num;
        dp[i][0]=sum;//在没有使用乘号的情况全部使用加法
    }
}
int main()
{
    int n,k;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    init(n,k);
    for(int i=1;i<=n;i++)//n个数
    {
        for(int j=1;j<=i-1;j++)//最多有i-1个乘号，数量级较小，就不剪枝了
        {
            for(int p=2;p<=i;p++)//第j个乘号插入的位置，如果和前面的乘号位置重叠了，也不影响，还是原来的dp[i][j]
            {
                dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[p-1][j-1]*(dp[i][0]-dp[p-1][0]));//从车如位置到i的和，一起乘总比一个乘要大
            }
        }
    }
    printf("%lld\n",dp[n][k]);
    return 0;
}