理顺FFT

DFT(Discrete Fourier Transform)：离散傅立叶变换

直观的计算DFT算法复杂度为O(N*N)。

FFT(Fast Fourier Transformation)：快速傅立叶变换，DFT的快速算法。凡将DFT算法复杂度降至O(N*logN)的算法，均可称为FFT。

最常用的FFT为奇偶分治法，要求输入点个数N为2的幂。下文中均假设N为2的幂。

N个点的DFT处理器定义：

N个点的DFT处理器有N个输入和N个输出，输入N个点的值，输出各点的变换结果值。

（注意左边x为小写，右边X为大写）

黑箱内逻辑为：

其中。

根据N个点的DFT处理器的定义，可以推得N/2个点的DFT处理器的定义。

N/2个点的DFT处理器定义：

N/2个点的DFT处理器有N/2个输入和N/2个输出，输入N/2个点的值，输出各点的变换结果值。

黑箱内逻辑为：

考虑下面问题：

问题一：将N/2个偶点x[0],x[2],x[4],...,x[N-2]输入N/2个点的DFT处理器，设输出为G[0]，G[1],...,G[N/2-1]，那么G[k](k=1~N/2-1)等于多少？

解：根据N/2个点的DFT处理器定义，得：

问题二：将N/2个奇点x[1],x[3],x[5],...,x[N-1]输入N/2个点的DFT处理器，设输出为H[0],H[1],...,H[N/2-1]，那么H[k](k=1~N/2-1)等于多少？

解：根据N/2个点的DFT处理器定义，得

考虑下面问题：

假设我现在想计算N个点x[0]~x[N-1]的DFT的结果X[0]~X[N-1]，但是凑巧学前班没毕业不会算数儿，所以只能借助一个现成的N个点的DFT处理器来完成计算，但凑巧手头没有N个点的DFT处理器，却凑巧有两个N/2个点的DFT处理器，那么我还能不能完成计算呢？

解：

能完成计算，可以用两个N/2个点的DFT处理器DIY一个N个点的DFT处理器，然后用这个DIY的DFT处理器完成计算。

那么，如何DIY呢？

首先可验证恒等式：

然后据此恒等式连电路，连好结果如下：

由此可见，可以用两个N/2个点的DFT处理器组装成N个点的DFT处理器。重复这一思想，那两个N/2个点的DFT处理器每个都可以由两个N/4个点的DFT处理器组成，由于N为2的幂，所以此过程可反复进行，直到分解为1个点的DFT处理器为止。

此即基于奇偶分治的FFT算法。

算法复杂度分析：

设使用上述FFT算法的情况下N point DFT所需乘法次数为C(N)，则根据上面电路图显然有：

C(N)=2C(N/2)+N

又由于1个点的FFT所需乘法次数为1（即输入值x乘以)，即

C(1)=1

求解此递推公式，得

所以算法复杂度为O(N*logN)

参考：

https://www.youtube.com/watch?v=EsJGuI7e_ZQ

https://www.youtube.com/watch?v=1mVbZLHLaf0

----补充

一，

因为，所以前面电路图可等价地优化为：

参考：https://cnx.org/contents/zmcmahhR@7/Decimation-in-time-DIT-Radix-2  （其中Additional Simplification一节）。

二，

递推公式

C(N)=2C(N/2)+N

C(1)=1

求解过程如下：

令

则

用累加法求解D(m)，写：

将第二式乘以2，将第三式乘以4，将第四式乘以8...然后累加，得：

所以

即