[SDOI2010]代码拍卖会——DP
原题戳这里
绝对是一道好题
需要注意到两个东西
**
1.符合条件的数可以拆成一堆\(11...11\)相加的形式,比如\(1145=1111+11+11+11+1\)
2.\(1,11,111,1111,...\)模\(p\)会出现循环,循环节长度不超过\(p\)
**
还有就是\(11...11\)最多为\(9\)个,然后就可以\(dp\)了
首先需要统计长度为\(1-n\)的全\(1\)串中有多少个模\(p\)为\(r\),记为\(cnt[r]\),这个可以\(O(p)\)的预处理出来
接着设\(f[k][i][j]\)表示在\(cnt[1]-cnt[i]\)中已经选了\(k\)个,且它们的和模\(p\)为\(j\)的方案数,那么转移如下:
\]
为什么是\(8\)而不是\(9\)呢?因为我们至少要选一个长度为\(n\)的全\(1\)串,为了方便,我们在\(dp\)之前就把它选出来,相当于占用了\(9\)个中的\(1\)个
还有就是那个组合是可重组合
细节看代码吧:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define $SHOW(x) cout << #x" = " << x << endl
#define ll long long
#define MOD 999911659
#define MAXN 500
ll n, P, all, cnt[MAXN + 5], inv[10]; // all代表长度为n的全1串模p的值
int st, len, pos[MAXN + 5], f[10][MAXN + 5][MAXN + 5];
void add(int &x, int y) {
x = (x + y) % MOD;
if(x < 0) x += MOD;
}
int Mul(int x, int y) {
return 1LL * x * y % MOD;
}
int fpow(int x, int p) {
int ret = 1;
while (p) {
if (p & 1) ret = Mul(ret, x);
x = Mul(x, x);
p >>= 1;
}
return ret;
}
int C(ll n, ll m) {
if (n < m) return 0;
int ret = 1;
for (ll x = n, y = 1; y <= m; --x, ++y)
ret = Mul(ret, Mul(x % MOD, inv[y]));
return ret;
}
int main() {
cin >> n >> P;
if (n <= P) { // 预处理循环节
int sum = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
sum = (sum * 10 + 1) % P;
cnt[sum]++;
}
all = sum;
}
else {
int sum = 0;
for (int i = 1; i <= P + 1; ++i) {
sum = (sum * 10 + 1) % P;
if (cnt[sum]) {
st = pos[sum], len = i - pos[sum];
break;
}
pos[sum] = i, cnt[sum]++;
}
for (int i = 0; i < P; ++i)
if (cnt[i] && pos[i] >= st) {
cnt[i] = (n - st + 1) / len;
if (pos[i] - st + 1 <= (n - st + 1) % len) cnt[i]++;
if ((pos[i] - st + 1) % len == (n - st + 1) % len) all = i;
}
}
for (int i = 1; i <= 8; ++i) inv[i] = fpow(i, MOD - 2);
f[0][0][all] = 1; // 初始化
for (int r = 0; r < P; ++r) {
for (int i = 0; i <= 8; ++i)
for (int k = 0; k < P; ++k)
for (int j = 0; j + i <= 8; ++j)
if(cnt[r]) add(f[i + j][r + 1][(k + j * r % P) % P], Mul(C(cnt[r] + j - 1, j), f[i][r][k]));
else f[i][r + 1][k] = f[i][r][k]; // 注意这里,要把值继承过来
}
int ans = 0;
for (int i = 0; i <= 8; ++i)
add(ans, f[i][P][0]);
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
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