树链剖分 树剖求lca 学习笔记
树链剖分
顾名思义,就是把一课时分成若干条链,使得它可以用数据结构(例如线段树)来维护
一些定义:
重儿子:子树最大的儿子
轻儿子:除了重儿子以外的儿子
重边:父节点与重儿子组成的边
轻边:除重边以外的边
重链:重边连接而成的链
轻链:轻边连接而成的链
链头:一条链上深度最小的点
第一步:进行进行轻重边的划分。
定义size[x]为以x为根的子树节点个数,令v为u儿子中size值最大的节点,那么(u,v)就是重边,其它出边都是轻边
两个重要性质:
1.轻边(u,v)中,Size[v]<size[u]/2 显然,如果儿子v的size>=size[u],则它应该是重边,u的子树中没有size比他更大的
2.从根到某一点的路径上,不超过logn条轻边和不超过logn条重路径。这条性质直接保证了树链剖分的复杂度
进行两次dfs,第一次dfs记录下所有的重边,第二次dfs连接重边,形成重链。
具体过程:在每一个节点,先递归重儿子,沿着重边向下拓展,形成一条重链,接着递归其他轻儿子,成为其子树中重链的起点
定义:
size[]数组:用来保存以x为根的子树节点个数
top[]数组:用来保存当前节点的所在链的顶端节点
son[]数组:用来保存重儿子
dep[]数组:用来保存当前节点的深度
fa[]数组:用来保存当前节点的父亲
dfn[]数组:用来保存树中每个节点剖分后的新编号(按第二遍dfs的访问顺序,先重儿子)
pos[]数组:用来保存当前节点在线段树中的位置
第二步 查询lca
我们象倍增求lca一样,每次跳到一条链的链首,然后跳到链首的父节点,重复前面的过程
直到跳到同一条链上,这时,深度较小的节点就是lca
注意前面的两个性质,它们保证的树剖的复杂度只有很小的logn
代码解释:a^b即a!=b
Dp即dep
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