【BZOJ4405】【WC2016】挑战NPC（带花树）

题面

Description

小N最近在研究NP完全问题，小O看小N研究得热火朝天，便给他出了一道这样的题目：

有n个球，用整数1到n编号。还有m个筐子，用整数1到m编号。

每个筐子最多能装3个球。

每个球只能放进特定的筐子中。具体有e个条件，第i个条件用两个整数vi和ui描述，表示编号为vi的球可以放进编号为ui的筐子中。

每个球都必须放进一个筐子中。如果一个筐子内有不超过1个球，那么我们称这样的筐子为半空的。

求半空的筐子最多有多少个，以及在最优方案中，每个球分别放在哪个筐子中。

小N看到题目后瞬间没了思路，站在旁边看热闹的小I嘿嘿一笑：“水题！”

然后三言两语道出了一个多项式算法。

小N瞬间就惊呆了，三秒钟后他回过神来一拍桌子：

“不对！这个问题显然是NP完全问题，你算法肯定有错！”

小I浅笑：“所以，等我领图灵奖吧!”

小O只会出题不会做题，所以找到了你——请你对这个问题进行探究，并写一个程序解决此题。

Input

第一行包含1个正整数T，表示有T组数据。

对于每组数据，第一行包含3个正整数n,m,e，表示球的个数，筐子的个数和条件的个数。

接下来e行,每行包含2个整数vi,ui，表示编号为vi的球可以放进编号为ui的筐子。

Output

对于每组数据，先输出一行，包含一个整数，表示半空的筐子最多有多少个。

Sample Input

4 3 6

1 1

2 1

2 2

3 2

3 3

4 3

Sample Output

HINT

对于所有数据，T≤5，1≤n≤3m。保证 1≤vi≤n,1≤ui≤m，且不会出现重复的条件。

保证至少有一种合法方案,使得每个球都放进了筐子,且每个筐子内球的个数不超过 3。

M<=100

题解

考虑一下可以放的球数和对答案的贡献：

3个球:1

2个球:1

1个球:0

0个球:0

我们发现就是可以放的球数整除$2$的结果

所以，把一个篮子拆成三个

一个球还是一个球

如果一个球可以放进一个篮子里，证明着球可以与篮子拆分出来的任意一个点匹配

现在要求的相当于篮子自身能够匹配的最大数目

如果超过了两个空，那么就可以自身与自身匹配了，从而产生贡献一。

所以考虑如下构图：

每个篮子是三个点，点与点之间互相连边

每个球是一个点，可以向它可以放的篮子拆出来的三个点连边。

这样的话，因为保证所有球都有匹配，

所以最大匹配数=球数+有贡献的篮子自身的匹配

所以最后的答案就是最大匹配数-球数。

至于如何计算方案，一定优秀增广球，再增广篮子，否则会出现篮子自身优先匹配，然后球没有匹配的情况，到时方案错误（虽然答案也是对的。。。）

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<algorithm>

#include<set>

#include<map>

#include<vector>

#include<queue>

using namespace std;

#define ll long long

#define RG register

#define MAX 1111

inline int read()

{

    RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();

    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();

    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();

    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();

    return x*t;

}

struct Line{int v,next;}e[MAX*MAX];

int h[MAX],cnt=1;

inline void Add(int u,int v){e[cnt]=(Line){v,h[u]};h[u]=cnt++;}

queue<int> Q;

int dfn[MAX],tim;

int match[MAX],pre[MAX];

int f[MAX],vis[MAX],n,m,E;

int getf(int x){return x==f[x]?x:f[x]=getf(f[x]);}

int lca(int u,int v)

{

	++tim;u=getf(u);v=getf(v);

	while(dfn[u]!=tim)

	{

		dfn[u]=tim;

		u=getf(pre[match[u]]);

		if(v)swap(u,v);

	}

	return u;

}

void Blossom(int x,int y,int w)

{

	while(getf(x)!=w)

	{

		pre[x]=y,y=match[x];

		if(vis[y]==2)vis[y]=1,Q.push(y);

		if(getf(x)==x)f[x]=w;

		if(getf(y)==y)f[y]=w;

		x=pre[y];

	}

}

bool Aug(int S)

{

	for(int i=1;i<=n+m+m+m;++i)f[i]=i,vis[i]=pre[i]=0;

	while(!Q.empty())Q.pop();Q.push(S);vis[S]=1;

	while(!Q.empty())

	{

		int u=Q.front();Q.pop();

		for(int i=h[u];i;i=e[i].next)

		{

			int v=e[i].v;

			if(getf(u)==getf(v)||vis[v]==2)continue;

			if(!vis[v])

			{

				vis[v]=2;pre[v]=u;

				if(!match[v])

				{

					for(int x=v,lst;x;x=lst)

						lst=match[pre[x]],match[x]=pre[x],match[pre[x]]=x;

					return true;

				}

				vis[match[v]]=1,Q.push(match[v]);

			}

			else

			{

				int w=lca(u,v);

				Blossom(u,v,w);

				Blossom(v,u,w);

			}

		}

	}

	return false;

}

void init()

{

	memset(h,0,sizeof(h));cnt=1;

	memset(dfn,0,sizeof(dfn));tim=0;

	memset(match,0,sizeof(match));

}

int main()

{

	int T=read();

	while(T--)

	{

		n=read();m=read();E=read();

		init();int ans=0;

		for(int i=1;i<=m;++i)

		{

			Add(i,i+m);Add(i+m,i);

			Add(i,i+m+m);Add(i+m+m,i);

			Add(i+m,i+m+m);Add(i+m+m,i+m);

		}

		for(int i=1;i<=E;++i)

		{

			int v=read(),u=read();

			Add(v+m+m+m,u);Add(u,v+m+m+m);

			Add(v+m+m+m,u+m);Add(u+m,v+m+m+m);

			Add(v+m+m+m,u+m+m);Add(u+m+m,v+m+m+m);

		}

		for(int i=m+m+m+n;i;--i)if(!match[i]&&Aug(i))++ans;

		printf("%d\n",ans-n);

		for(int i=1;i<=n;++i)printf("%d ",(match[i+m+m+m]-1)%m+1);puts("");

	}

	return 0;

}