51Nod 1070 Bash游戏 V4（斐波那契博弈）

http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1070

题意：

思路：

这个是斐波那契博弈，http://blog.csdn.net/acm_cxlove/article/details/7835016，关于斐波那契博弈的介绍，可以看看这篇博客。以下的内容便是转自这篇博客。

1、当i=2时，先手只能取1颗，显然必败，结论成立。

2、假设当i<=k时，结论成立。

则当i=k+1时，f[i] = f[k]+f[k-1]。

则我们可以把这一堆石子看成两堆，简称k堆和k-1堆。

（一定可以看成两堆，因为假如先手第一次取的石子数大于或等于f[k-1]，则后手可以直接取完f[k]，因为f[k] < 2*f[k-1]）

对于k-1堆，由假设可知，不论先手怎样取，后手总能取到最后一颗。下面我们分析一下后手最后取的石子数x的情况。

如果先手第一次取的石子数y>=f[k-1]/3，则这小堆所剩的石子数小于2y，即后手可以直接取完，此时x=f[k-1]-y，则x<=2/3*f[k-1]。

我们来比较一下2/3*f[k-1]与1/2*f[k]的大小。即4*f[k-1]与3*f[k]的大小，由数学归纳法不难得出，后者大。

所以我们得到，x<1/2*f[k]。

即后手取完k-1堆后，先手不能一下取完k堆，所以游戏规则没有改变，则由假设可知，对于k堆，后手仍能取到最后一颗，所以后手必胜。

即i=k+1时，结论依然成立。

对于不是FIB数，首先进行分解。

分解的时候，要取尽量大的Fibonacci数。

比如分解85：85在55和89之间，于是可以写成85=55+30，然后继续分解30,30在21和34之间，所以可以写成30=21+9，

依此类推，最后分解成85=55+21+8+1。

则我们可以把n写成  n = f[a1]+f[a2]+……+f[ap]。（a1>a2>……>ap）

我们令先手先取完f[ap]，即最小的这一堆。由于各个f之间不连续，则a(p-1) > ap  + 1，则有f[a(p-1)] > 2*f[ap]。即后手只能取f[a(p-1)]这一堆，且不能一次取完。

此时后手相当于面临这个子游戏（只有f[a(p-1)]这一堆石子，且后手先取）的必败态，即先手一定可以取到这一堆的最后一颗石子。

同理可知，对于以后的每一堆，先手都可以取到这一堆的最后一颗石子，从而获得游戏的胜利。

 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<vector>
 #include<queue>
 #include<cmath>
 #include<map>
 using namespace std;

 const int maxn=1e9+;

 int n;
 int c[];
 map<int,int> num;

 void init()
 {
     c[]=;
     c[]=;
     num[]=;
     num[]=;
     while(c[]<=maxn)
     {
         c[]=c[]+c[];
         num[c[]]=;
         c[]=c[];
         c[]=c[];
     }
 }

 int main()
 {
     //freopen("D:\\input.txt","r",stdin);
     init();
     int T;
     scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         scanf("%d",&n);
         if(num[n])  puts("B");
         else puts("A");
     }
 }