【poj3718】 Facer's Chocolate Dream

http://poj.org/problem?id=3718 (题目链接)

题意

　　给出${2}$个长度为${n}$的${01}$串，问是否存在${m}$个长度为${n}$的有三个位置为${1}$的$01$串它们的异或和正好等于那两个$01$串的异或和。求方案数。

Solution

　　我们把那两个$01$串异或起来得到一个$S$，那么问题就变成了是否存在$m$个长度为$n$的有且仅有三个位置为$1$的$01$串的异或和等于$S$。

　　我们这样进行考虑，假设$S$有$v$个位置上为$1$，先求出异或出来的串有$v$个位置为$1$的方案数，因为$v$个$1$可以任意组合，我们再除以一个组合数$C_{n}^{v}$就是答案。

　　再添加一个条件，我们假设选出的$m$个数不同顺序算是不同的方案，求出来以后再除以一个$m!$就可以了。

　　这样我们就可以dp啦。$f[i][j]$表示已经选了$i$个数，异或起来有$j$个$1$的方案数，那么最后答案就是$$ans=\frac{f[m][v]}{m!C_n^v}$$

　　考虑转移，有这几种情况：

\begin{aligned}  f[i][j]&=f[i-1][j-3]\binom{n-j+3}{3}  \\  &+f[i-1][j-1]\binom{n-j+1}{2}(j-1)  \\  &+f[i-1][j+1](n-j-1)\binom{j+1}{2}  \\  &+f[i-1][j+3]\binom{j+3}{3}   \end{aligned}

　　这应该很好理解吧，就是新加入的第$i$个数，它会对之前$i-1$个数已经异或出来的数造成的影响有$4$种：将三个$0$变成$1$；将两个$0$变成$1$，一个$1$变成$0$；将一个$0$变成$1$，两个$1$变成$0$；将三个$1$变成$0$。

　　考虑到这样转移，并没有考虑第$i$个数与之前的$i-1$个数重复的情况。如果第$i$个数与之前某个数重复了，那么就意味着剩下的$i-2$个数异或起来还是会有$j$个$1$。所以我们还要容斥一下：

\begin{aligned}  f[i][j]-=f[i-2][j]\binom{n}{3}(i-1)   \end{aligned}

　　表示第$i$个数的取值有$\binom{n}{3}$种，它可以与之前$i-1$个数中的任意一个相等。

　　那么就做完了，最后转移的时候注意判一下边界。

细节

　　LL

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define LL long long
#define inf (1ll<<30)
#define MOD 10007
#define Pi acos(-1.0)
#define free(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout);
using namespace std;

const int maxn=1010;
int C[maxn][maxn],f[maxn][maxn],fac[maxn];
int n,m,v;
char s1[maxn],s2[maxn];

int power(int a,int b) {
	int res=1;
	while (b) {
		if (b&1) res=(LL)res*a%MOD;
		b>>=1;a=(LL)a*a%MOD;
	}
	return res;
}
int main() {
	for (int i=0;i<=1000;i++) C[i][0]=1;
	for (int i=1;i<=1000;i++)
		for (int j=1;j<=i;j++) C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%MOD;
	fac[0]=1;for (int i=1;i<=1000;i++) fac[i]=(LL)fac[i-1]*i%MOD;
	for (int i=1;i<=1000;i++) fac[i]=power(fac[i],MOD-2);
	while (scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF && n && m) {
		scanf("%s%s",s1+1,s2+1);v=0;
		for (int i=1;i<=n;i++) v+=(s1[i]!=s2[i]);
		memset(f,0,sizeof(f));f[0][0]=1;
		for (int i=1;i<=m;i++)
			for (int j=0;j<=n;j++) {
				if (j>=3) (f[i][j]+=(LL)C[n-j+3][3]*f[i-1][j-3]%MOD)%=MOD;
				if (j>=1) (f[i][j]+=(LL)C[n-j+1][2]*(j-1)%MOD*f[i-1][j-1]%MOD)%=MOD;
				if (j+1<=n) (f[i][j]+=(LL)C[j+1][2]*(n-j-1)%MOD*f[i-1][j+1]%MOD)%=MOD;
				if (j+3<=n) (f[i][j]+=(LL)C[j+3][3]*f[i-1][j+3]%MOD)%=MOD;
				if (i>=2) (f[i][j]+=MOD-(LL)f[i-2][j]*(C[n][3]-i+2)%MOD*(i-1)%MOD)%=MOD;
			}
		printf("%lld\n",(LL)f[m][v]*fac[m]%MOD*power(C[n][v],MOD-2)%MOD);
	}
	return 0;
}