牛客网 Wannafly挑战赛27 蓝魔法师

蓝魔法师

链接：

https://www.nowcoder.com/acm/contest/215/C

来源：牛客网

题目描述

“你，你认错人了。我真的，真的不是食人魔。”--蓝魔法师

给出一棵树，求有多少种删边方案，使得删后的图每个连通块大小小于等于\(k\)，两种方案不同当且仅当存在一条边在一个方案中被删除，而在另一个方案中未被删除，答案对\(998244353\)取模

输入描述:

第一行两个整数\(n\),\(k\), 表示点数和限制

\(2 \le n \le 2000, 1 \le k \le 2000\)

接下来\(n-1\)行，每行包括两个整数\(u\),\(v\)，表示\(u\),\(v\)两点之间有一条无向边

输出描述:

共一行，一个整数表示方案数对\(998244353\)取模的结果

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长见识了，比赛交了\(8\)次最后终于过了。

树上分组背包，令\(dp_{i,j}\)代表子树\(i\)还剩余\(j\)个点可以连出去时的方案数。

这个转移每个人的写法都可以不一样，说一下我的。

初始化\(dp_{i,1}=1\)，代表先强制选\(i\)

对每个子树做\(dp_{i,j}=dp_{s,k}\times dp_{i,j-k}\)表示连接

特判直接砍掉子树的情况，在做子树之前\(dp_{i,j}=dp_{i,j}\times dp_{s,0}\)

做完后再处理一下自己被砍的情况。

注意倒序枚举。

这样写出来是这样的。

void dfs(int now,int fa)
{
    dp[now][1]=1;
    siz[now]++;
    for(int i=head[now];i;i=Next[i])
    {
        int v=to[i];
        if(v==fa) continue;
        dfs(v,now);
        siz[now]+=siz[v];
        for(int r=min(k,siz[now]);r;r--)
        {
            (dp[now][r]*=dp[v][0])%=mod;
            for(int l=1;l<=min(r,siz[v]);l++)
                (dp[now][r]+=dp[v][l]*dp[now][r-l])%=mod;
        }
    }
    for(int i=1;i<=min(k,siz[now]);i++) (dp[now][0]+=dp[now][i])%=mod;
}

很不幸的是这样写可以轻松被链卡到\(O(n^3)\)

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有一种写法是\(O(n^2)\)的

先枚举子树大小那么大，然后更新当前树

void dfs(int now,int fa)
{
    dp[now][1]=1;
    siz[now]++;
    for(int i=head[now];i;i=Next[i])
    {
        int v=to[i];
        if(v==fa) continue;
        dfs(v,now);
        for(int r=1;r<=min(k,siz[now]+siz[v]);r++)
            f[r]=dp[now][r],(dp[now][r]*=dp[v][0])%=mod;
        for(int l=1;l<=siz[v];l++)//物品
            for(int r=min(k,siz[now]+l);r>=l+1;r--)//被转移的位置
				(dp[now][r]+=dp[v][l]*f[r-l])%=mod;
        siz[now]+=siz[v];
    }
    int rr=min(k,siz[now]);
    for(int i=1;i<=rr;i++) (dp[now][0]+=dp[now][i])%=mod;
}

值得一提的是，这个跑法的复杂度是非常严格的，随机数据下进入核心转移的地方只有\(\frac{n(n-1)}{2}\)次，怎么构造都是这样（当然按不考虑\(k\)的大小的剪枝）

为什么呢？考虑一种感性的理解方式。

每一对点，当且仅当在它们的\(\tt{LCA}\)时，能够被转移。

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考虑修补一下第一种做法，发现多余的转移是因为权值为\(0\)，如果我们这样写，那么复杂度也是一样的了

void dfs(int now,int fa)
{
    dp[now][1]=1;
    siz[now]++;
    for(int i=head[now];i;i=Next[i])
    {
        int v=to[i];
        if(v==fa) continue;
        dfs(v,now);
        siz[now]+=siz[v];
        for(int r=min(k,siz[now]);r;r--)
        {
            (dp[now][r]*=dp[v][0])%=mod;
            if(r==1) continue;
            for(int l=siz[v]-siz[now]+r;l<=min(min(k,r-1),siz[v]);l++)
				(dp[now][r]+=dp[v][l]*dp[now][r-l])%=mod;
        }
    }
    for(int i=1;i<=k;i++) (dp[now][0]+=dp[now][i])%=mod;
}

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2018.10.27