leetcode算法刷题(五)——动态规划(三)

今天的题目不是leetcode上面的。只是觉得动态规划还是不算很熟练，就接着找了点DP的题练练

最长递增子序列的长度

题目的意思：传入一个数组，要求出它的最长递增子序列的长度。例如：如在序列1,-1,2,-3,4,-5,6,-7中，最长递增序列为1,2,4,6，所以长度为4。

分析：这道题我们可以用动态规划来做。对于数组的前i个元素，记L(i)为前i个最长递增子序列的长度。我们可以得到状态转移方程：L(i) = max(L(j))+1, 其中j<i, a[j]<a[i]. 这个解法比较容易想出来。可是这个解法的时间复杂度有点高(O(n^2))。下面是另一种解法，利用了二分查找(O(logn))，时间复杂度是O(nlogn)

def maxlong(li):
    maxLong = [0 for i in range(len(li))]
    maxLong[0] = li[0]
    leng = 1

    for i in range(1,len(li)):
        if li[i] > maxLong[leng-1]:
            maxLong[leng] = li[i]
            leng += 1
        else:
            pos = biSearch(li[i], leng, maxLong)
            maxLong[pos] = li[i]
    return leng

def biSearch(value, length, maxLong):
    left = 0
    right = length-1
    while left <= right:
        mid = (left+right)//2
        if maxLong[mid] > value:
            right = mid-1
        elif maxLong[mid] < value:
            left = mid+1
        else:
            return mid
    return left

从左往右递增再递减的数列

题目的意思：从一列数中筛除尽可能少的数使得从左往右看，这些数是从小到大再从大到小的。

分析：这道题是上面那道题的变体。我们可以把这道题这样看：

筛除数字后，数组的0~i位是递增数列，数组的(len(li)-1)~i位是递增数列。

其实这道题等效于求出这两个数列的递增数列长度(a[i],b[i])，再求出min(len(li)-a[i]-b[i]+1)

该方法利用了前一道题求最长递增子序列长度的方法。

def maxlong(li):
    maxLong = [0 for i in range(len(li))]
    maxLong[0] = li[0]
    leng = 1

    for i in range(1,len(li)):
        if li[i] > maxLong[leng-1]:
            maxLong[leng] = li[i]
            leng += 1
        else:
            pos = biSearch(maxLong, leng, li[i])
            maxLong[pos] = li[i]
    return leng

def biSearch(li, length, value):
    left = 0
    right = length-1
    while left <= right:
        mid = (right + left)//2
        if li[mid] > value:
            right = mid -1
        elif li[mid] < value:
            left = mid + 1
        else:
            return mid
    return left

def mindelete(li):
    a = [0 for i in range(len(li))]
    b = [0 for i in range(len(li))]
    c = 0

    for i in range(len(li)):
        li_a = li[:i+1]
        a[i] = maxlong(li_a)

        li_b = li[:i:-1]+[li[i]]
        b[i] = maxlong(li_b)

    for i in range(len(li)):
        c = max(c, a[i]+b[i])

    return len(li) -c +1