【BZOJ 2839】 2839: 集合计数 （容斥原理）

2839: 集合计数

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Description

一个有N个元素的集合有2^N个不同子集（包含空集），现在要在这2^N个集合中取出若干集合（至少一个），使得

它们的交集的元素个数为K，求取法的方案数，答案模1000000007。（是质数喔~）

Input

一行两个整数N,K

Output

一行为答案。

Sample Input

3 2

Sample Output

6

HINT

【样例说明】

假设原集合为{A,B,C}

则满足条件的方案为：{AB,ABC},{AC,ABC},{BC,ABC},{AB},{AC},{BC}

【数据说明】

对于100%的数据，1≤N≤1000000；0≤K≤N；

【分析】

　　我的容斥好垃圾哦。。。

　　答案=至少交集为k-至少交集为k+1+至少交集为k+2

　　注意‘至少’的意义。如若不是，那么是不需要容斥的。而是答案=至少交集为k-交集为k+1-交集为k+2-交集为k+3。。。

　　算‘至少’好算多了，你只要保证了有k个，后面的东西都随便了。

　　

从n个数中选出k个作为交集中的数,是C(n,k)，这样的集合共有2^(2^(n-k))-1个

2^(n-k)是包含选定的k个数的可选集合的数量，选取方案有2^(2^(n-k))-1个(不能有空集否则无法保证k个元素)

所以ans=C(n,k)*C(k,k)*(2^(2^(n-k))-1)-C(n,k+1)*C(k+1,k)*2^(2^(n-k-1)

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 #define LL long long
 #define Maxn 1000010
 const int Mod=;

 int pw[Maxn],inv[Maxn],tpw[Maxn];

 void init(int n)
 {
     // tpw[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++) tpw[i]=1LL*tpw[i-1]*2%Mod;
     pw[]=;for(int i=;i<=n;i++) pw[i]=1LL*pw[i-]*i%Mod;
     inv[]=;for(int i=;i<=n;i++) inv[i]=1LL*(Mod-Mod/i)*inv[Mod%i]%Mod;
     inv[]=;for(int i=;i<=n;i++) inv[i]=1LL*inv[i-]*inv[i]%Mod;
 }

 int qpow(int x,int b,int p)
 {
     int ans=;
     while(b)
     {
         if(b&) ans=1LL*ans*x%p;
         x=1LL*x*x%p;
         b>>=;
     }
     return ans;
 }

 int get_c(int n,int m)
 {
     return 1LL*pw[n]*inv[n-m]%Mod*inv[m]%Mod;
 }

 int f[Maxn];
 int main()
 {
     int n,k,ans=;
     scanf("%d%d",&n,&k);
     init(n);
     for(int i=n;i>=k;i--)
     {
         f[i]=1LL*(qpow(,qpow(,n-i,Mod-),Mod)-)*get_c(n,i)%Mod*get_c(i,k)%Mod;
     }
     for(int i=k+;i<=n;i++)
     {
         if((i-k)&) f[k]-=f[i];
         else f[k]+=f[i];
         f[k]%=Mod;
     }
     f[k]=(f[k]+Mod)%Mod;
     printf("%d\n",f[k]);
     return ;
 }

2017-04-19 10:44:21