[[SCOI2008]城堡] 解题报告

[SCOI2008]城堡

最大值最小，显然二分答案，但考虑二分后如何 check。

\(n\) 个点 \(n\) 条边，显然这是一个基环树森林。对于基环树，常用的套路是拆环为链，枚举删去哪条边。但这题是基环树森林，拆环为链的复杂太高，考虑将环和树分开处理。

树上是一个很典型的 dp，和将军令一样（不了解的可以观看我的相关博客），注意处理下原来关键点的影响即可。

环上的部分要分成两种情况：

• 第一种是环上没有关键点。需要先处理该点是否被其它点子树内的关键点覆盖。令 \(len\) 表示处理完子树内的点后还可以影响环上多少长度，若 \(len\times 2>\) 环的长度，则整个环只需要新添一个点就可以全部被覆盖。否则会变成一个经典贪心问题，在环上有一些区间，每个区间表示表示关键点被放置在该区间时，某个点才会被覆盖，求最少要有多少区间才能覆盖这个环。
• 环上有关键点，其实也差不多，只是最后求最少区间覆盖环时有了一个起点。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ull unsigned long long
#define ll long long
#define pdi pair<double,int>
#define pii pair<int,int>
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define eps 1e-9
using namespace std;
namespace IO{
    template<typename T>
    inline void read(T &x){
        x=0;
        int f=1;
        char ch=getchar();
        while(ch>'9'||ch<'0'){
            if(ch=='-'){
                f=-1;
    }
            ch=getchar();
        }
        while(ch>='0'&&ch<='9'){
            x=x*10+(ch-'0');
            ch=getchar();
        }
        x=(f==1?x:-x);
    }
    template<typename T>
    inline void write(T x){
        if(x<0){
            putchar('-');
            x=-x;
        }
        if(x>=10){
            write(x/10);
        }
        putchar(x%10+'0');
    }
    template<typename T>
    inline void write_endl(T x){
        write(x);
        putchar('\n');
    }
    template<typename T>
    inline void write_space(T x){
        write(x);
        putchar(' ');
    }
}
using namespace IO;
const int N=200,inf=1e9;
int n,m,K,d[N][N],v[N],w[N],flag[N],vis[N],f[N],g[N];
int idx,Time;
vector<pii>e[N];
stack<int>stk;
struct node{
    int l,r;
};
struct tree{
    int circle[N],cnt,rank[N],pos,dis[N],s[N],in_cir[N],sum,k,tot,R[N],nxt[N];
    node seg[N];
    void ins(int x){
        circle[++cnt]=x;
        rank[x]=cnt;
        in_cir[x]=1;
    }
    void work(){
        for(int i=1;i<=cnt;i++){
            if(flag[circle[i]]){
                pos=i;
                break;
            }
        }
        for(int i=1;i<=cnt;i++){
            dis[i]=dis[i+cnt]=d[circle[i]][circle[i%cnt+1]];
        }
        for(int i=1;i<=cnt*2;i++){
            s[i+1]=s[i]+dis[i];
        }
    }
    void dfs(int u,int fa){
        f[u]=0;
        g[u]=inf;
        for(auto x:e[u]){
            int v=x.first,w=x.second;
            if(in_cir[v]||v==fa){
                continue;
            }
            dfs(v,u);
            f[u]=max(f[u],f[v]+w);
            g[u]=min(g[u],g[v]+w);
        }
        if(flag[u]){
            g[u]=0;
        }
        if(f[u]+g[u]<=k){
            f[u]=-inf;
        }
        if(f[u]+d[u][fa]>k){
            f[u]=-inf;
            g[u]=0;
            sum++;
        }
    }
    int solve(){
        // cerr<<k<<endl;
        tot=sum=0;
        for(int i=1;i<=cnt;i++){
            dfs(circle[i],0);
        }
        int fl=0;
        for(int i=1;i<=cnt*2;i++){
            R[i]=inf;
        }
        for(int i=1;i<=cnt;i++){
            bool flg=0;
            for(int j=1;j<=cnt;j++){
                int Dis=abs(s[i]-s[j]);
                Dis=min(Dis,s[cnt+1]-Dis);
                if(f[circle[i]]+g[circle[j]]+Dis<=k){
                    flg=1;
                    break;
                }
            }
            if(flg){
                continue;
            }
            int len=k-f[circle[i]];
            if(len*2>=s[cnt+1]){
                if(!pos){
                    fl=1;
                }
                continue;
            }
            ++tot;
            if(s[i]+dis[cnt]>len){
                seg[tot].l=1,seg[tot].r=2*cnt;
                for(int j=i;j;j--){
                    if(s[i]-s[j]>len){
                        seg[tot].l=j+1;
                        break;
                    }
                }
                for(int j=i+1;j<=cnt*2;j++){
                    if(s[j]-s[i]>len){
                        seg[tot].r=j-1;
                        break;
                    }
                }
                seg[tot+1].l=seg[tot].l+cnt;
                seg[tot+1].r=seg[tot].r+cnt;
                ++tot;
            }
            else{
                seg[tot].l=1,seg[tot].r=2*cnt;
                for(int j=i+cnt;j;j--){
                    if(s[i+cnt]-s[j]>len){
                        seg[tot].l=j+1;
                        break;
                    }
                }
                for(int j=i+cnt;j<=2*cnt;j++){
                    if(s[j]-s[i+cnt]>len){
                        seg[tot].r=j-1;
                        break;
                    }
                }
            }
        }
        // cerr<<tot<<' '<<fl<<endl;
        if(!tot){
            return sum+fl;
        }
        for(int i=1;i<=tot;i++){
            R[seg[i].l]=min(R[seg[i].l],seg[i].r);
        }
        int c=0,mn=inf;
        for(int i=2*cnt;i;i--){
            nxt[i]=mn;
            mn=min(mn,R[i]);
        }
        if(pos){
            int x=pos;
            while(nxt[x]<pos+cnt){
                c++;
                x=nxt[x];
            }
        }
        else{
            c=inf;
            for(int i=1;i<=cnt;i++){
                int x=i,S=1;
                while(nxt[x]<i+cnt){
                    S++;
                    x=nxt[x];
                }
                c=min(c,S);
            }
        }
        c=max(c,fl);
        return sum+c;
    }
}tr[N];
void visit(int u,int fa){
    vis[u]=Time;
    for(auto x:e[u]){
        int v=x.first;
        if(vis[v]==Time){
            continue;
        }
        visit(v,u);
    }
}
bool dfs(int u,int fa){
    stk.push(u);
    vis[u]=Time;
    bool First=1;
    for(auto x:e[u]){
        int v=x.first;
        if(vis[v]==Time){
            if(v==fa){
                if(First){
                    First=0;
                    continue;
                }
            }
            while(stk.top()!=v){
                tr[idx].ins(stk.top());
                stk.pop();
            }
            tr[idx].ins(stk.top());
            stk.pop();
            return 1;
        }
        if(dfs(v,u)){
            return 1;
        }
    }
    stk.pop();
    return 0;
}
signed main(){
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("1.in","r",stdin);
        freopen("1.out","w",stdout);
    #endif
    read(n),read(m),read(K);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            d[i][j]=inf;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        read(v[i]);
        v[i]++;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        read(w[i]);
        e[i].pb(mp(v[i],w[i]));
        e[v[i]].pb(mp(i,w[i]));
        d[i][v[i]]=d[v[i]][i]=min(d[i][v[i]],w[i]);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x;
        read(x);
        flag[x+1]=1;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!vis[i]){
            Time++;
            idx++;
            visit(i,0);
            Time++;
            dfs(i,0);
            tr[idx].work();
        }
    }
    int l=0,r=inf,ans=inf;
    while(l<=r){
        int mid=(l+r)>>1,x=0;
        // cerr<<mid<<' ';
        for(int i=1;i<=idx;i++){
            tr[i].k=mid;
            x+=tr[i].solve();
        }
        if(x>K){
            l=mid+1;
        }
        else{
            r=mid-1;
            ans=mid;
        }
    }
    write_endl(ans);
    return 0;
}