夏令营提高班上午上机测试 Day 4 解题报告

我要是没记错的话，今天的题难度算挺适中的。

*标程来自高天宇哥哥

T1：小G的字符串

题目描述

有一天，小 L 给小 G 出了这样一道题：生成一个长度为 n 的、全由小写英文字母构成的字符串，只能使用 k 种字母。要求满足：

• 字符串中相邻的两个字母不能相同。

• 必须出现恰好 k 种不同的字母。

这样的合法字符串可能有很多，小 L 让小 G 输出字典序最小的那个。

小 G 太笨啦，不会做这道题，希望你帮帮他。

输入格式

输入文件只有两个数字 n; k，含义如题。

输出格式

输出文件共一行，输出合法的字典序最小的字符串。

如果不存在任意一个合法的方案，输出 1。

样例输入

7 4

样例输出

ababacd

数据范围

对于 100% 的数据，1≤n≤10⁵; 1≤k≤26

 

题目大概的意思是说让我们生成一个字典序最小的字符串，满足相邻字符不相同，并且出现k个不同的字符。

乍一看无法下手，其实特别特别简单。。

（表面慌的一匹，实则稳如老狗）

对于k>2的情况，只需要在前面不断输出ababab……最后把剩下的字符都输出出来就好了。

这样显然是字典序。

恶心的是，特殊情况太多。

k>n，直接-1不用考虑

k=1,n=1，只输出一个a

k=1,n>1这个显然-1

k=2，全都是abababab…

 

 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <iostream>
 #include <cmath>
 #include <cstdio>
 using namespace std;

 int main() {
     freopen("str.in", "r", stdin);
     freopen("str.out", "w", stdout);
     int n, k;
     cin >> n >> k;

     if (k > n) {
         cout << - << endl;
         return ;
     }

     if (k == ) {
         if (n > )
             cout << - << endl;
         else
             cout << "a" << endl;
     } else if (k == ) {
         for (int i = ; i <= n; i++)
             if (i % ) putchar('a');
             else putchar('b');
         putchar('\n');
     } else {
         for (int i = ; i <= n - (k - ); i++)
             if (i % ) putchar('a');
             else putchar('b');
         for (int i = ; i < k; i++) putchar('a' + i);
         putchar('\n');
     }
 }

 

T2：小G的城堡

题目描述

小 G 家有一座城堡。城堡里面有 n 个房间，每个房间上都写着一个数字 p_i。

小 G 拉着几个小伙伴在城堡里面玩耍，他们约定，如果某个人当前站在 i 房间里面，下一步这个人就会去 p_i 房间，再下一步这个人去 p_pi 。

为了增加趣味性，小 G 想重新书写每个房间的 p_i，以满足：

• 如果从编号 1 到 k 中的某个房间开始，按照规则走，必须能够走到 1 号房间。特别地，如果从 1 号房间开始走，也要能够走回 1 号房间（至少走一步，如果 p₁ = 1，从 1 走到 1 也算合法）。

• 如果从编号大于 k 的某个房间开始，按照规则走，一定不能走到 1 号房间。

小 G 想知道，有多少种书写 p_i 的方案，可以满足要求。

输入格式

输入文件一行两个数字 n; k，含义如题。

输出格式

输出文件一个数字，表示合法的方案数。答案对 10⁹ + 7 取模

样例输入 1

5 2

样例输出 1

54

样例输入 2

7 4

样例输出 2

1728

数据范围

对于 40% 的数据，1 ≤ n ≤ 8

对于 70% 的数据，1 ≤ n ≤ 10⁵

对于 100% 的数据，1 ≤ n ≤ 10¹⁸; 1  ≤k ≤min(8，n)。

 

题目大意：有n个点，每个点有一条出边。要求前k个点能走到1号点，后k个点不能走到一号点，问方案数。

n<=8

暴力搜索，看每个点的出边指向哪里，然后检查就好。

n<=10^5

我们发现，前k个点肯定和前k个点互相连边。后n-k个点肯定不会连到前k个点里面去。

所以，我们只要爆搜前k个点连接的方案，然后检查；后n-k个点，只要连的是后n-k个点，爱怎么连怎么连，方案数是(n-k)^(n-k)。最后把两部分方案数乘起来就行。

n<=10^18

(n-k)^(n-k)太大？请使用快速幂。

 　

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cmath>
 #include <cstdlib>
 #include <iostream>
 using namespace std;

 typedef long long ll;
 const int mod = 1e9 + ;

 ll n, k;
 ll ans = ;

 inline ll qe(ll a, ll p) {
     ll ans = ;
     a %= mod;
     for (; p; p >>= , a = a * a % mod)
         if (p & )
             ans = ans * a % mod;
     return ans;
 }

 int go_loc[];

 inline bool check() {
     static bool vis[];
     memset(vis, , sizeof(vis));

     int now = ;
     while (!vis[now]) {
         vis[now] = true;
         now = go_loc[now];
     }
     if (now != ) return false;
     for (int i = ; i <= k; i++)
         if (!vis[i]) {
             static bool other_vis[];
             memset(other_vis, , sizeof(other_vis));
             int now = i;
             while (!other_vis[now] && !vis[now]) {
                 other_vis[now] = true;
                 now = go_loc[now];
             }
             if (!vis[now]) return false;
         }
     return true;
 }

 void dfs(int now) {
     if (now == k + ) {
         if (check()) ans++;
         return;
     }
     for (int i = ; i <= k; i++) {
         go_loc[now] = i;
         dfs(now + );
     }
 }

 int main() {
     freopen("castle.in", "r", stdin);
     freopen("castle.out", "w", stdout);
     cin >> n >> k;
     dfs();
     ans = ans * qe(n - k, n - k) % mod;
     cout << ans << endl;
 }

 

T3：小G坐电梯

题目描述

小 G 来到了著名的 CIGOM 大厦。大厦一共有 n 层，初始的时候小 G 在第 A 层。小 G 特别想去 B 层小 M 的办公室看一看，然而因为安保原因，B 层已经被封锁无法进入。

但是小 G 既然来了，就想在大厦里面逛一逛。大厦里面有一部电梯，小 G 决定坐 k 次电梯。因为小 G 比较无聊，他给自己设定了这样一个规矩：假如当前他在 x 层，则他要去的下一个楼层 y 和 x 的楼层差必须要小于 x 和 B 的楼层差，即|x-y| < |x-B|。每到达一个楼层，小 G 都要记录下来其楼层号。

当小 G 转完一圈后，他也记录下了 k + 1 个楼层号（可能有重复）。小 G 现在想知道，按照他定下的规矩，一共有多少种可能的楼层号序列？

输入格式

输入文件一行，4 个数字 n，A， B， k，含义如题目所述。

输出格式

输出一个数字，表示可能的楼层号序列的数量。答案对 10⁹ + 7 取模。

样例输入 1

5 2 4 1

样例输出 1

2

样例输入 2

5 2 4 2

样例输出 2

2

样例输入 3

5 3 4 1

样例输出 3

0

数据范围

对于 30% 的数据，2≤ n≤ 8; 1 ≤ k ≤ 8。

对于 70% 的数据，2 ≤ n 300; 1 ≤ k ≤ 300。

对于 100% 的数据，2 ≤ n ≤ 5000; 1 ≤k ≤5000; 1≤ A，B≤n; A ≠B。

这个题告诉我们，有n个楼层，走k步。每次走的距离不能超过当前点距离B层的距离。问方案数。

搜索是显然的，但这个题正解是DP。

注意到主人公永远不能跨越B层。

令f[step][i]表示当前是第step步，走到i这个位置的方案数。

转移（我们以B层下侧为例）：

f[step][i]=f[step-1][1~i-1]+f[step-1][i+1~ k]

其中，如果i+B为偶数，k=(i+B)/2-1

i+B为奇数，k=(i+B)/2

但这样并不能过所有点，因为转移是O(n)的。

我们要用O(1)的转移。注意我们每次的转移都来自一个连续的区间，而且我们是求和

来自一个连续的区间，还要求和，读者朋友，您是不是想到了前缀和？

令sum[step][i]表示f[step][1~i]的和

还是以B下侧为例

有f[step][i]=sum[step-1][i-1]+sum[step-1][k]-sum[step-1][i]。

 

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <cmath>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 using namespace std;

 typedef long long ll;
 const int MAXN = ;
 const int MOD  = ;
 int f[MAXN][MAXN] = {{}};
 int n, a, b, k;

 inline int getnum()
 {
     char c; int ans = ; bool flag = false;
     while ((c = getchar()) == ' ' || c == '\r' || c == '\n');
     if (c == '-') flag = true; else ans = c - '';
     while ((c = getchar()) >= '' && c <= '') ans = ans *  + c - '';
     return ans * (flag ? - : );
 }

 inline void add(int &a, int b)
 {
     ll tmp = (ll)a + b;
     if (tmp >= MOD) a = (int)(tmp - MOD);
     else if (tmp < ) a = (int)(tmp + MOD);
     else a = (int)tmp;
 }

 int main()
 {
     freopen("lift.in", "r", stdin);
     freopen("lift.out", "w", stdout);
     n = getnum(); a = getnum(); b = getnum(); k = getnum();
     if (fabs(a - b) -  == ) { printf("0\n"); return ; }
     for (int i = a; i <= n; i++)
         f[][i] = ;
     for (int step = ; step <= k; step++)
     for (int i = ; i <= n; i++)
         if (i == b) f[step][i] = f[step][i - ];
         else
         {
             f[step][i] = f[step][i - ];
             if (i < b)
             {
                 int x = (b + i) / ;
                 if ((b + i) %  == ) x--;
                 add(f[step][i], f[step - ][x]);
                 add(f[step][i], -f[step - ][i]);
                 add(f[step][i], f[step - ][i - ]);
             }
             else
             {
                 int x = (b + i) / ;
                 add(f[step][i], f[step - ][n]);
                 add(f[step][i], -f[step - ][x]);
                 add(f[step][i], -f[step - ][i]);
                 add(f[step][i], f[step - ][i - ]);
             }
         }
     printf("%d\n", f[k][n]);
 }

 

 

哇今天的解题报告好短。。