51Nod-1136 欧拉函数

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1136 欧拉函数

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 0 难度：基础题

 

对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。例如：φ(8) = 4（Phi(8) = 4），因为1,3,5,7均和8互质。

 

Input

输入一个数N。(2 <= N <= 10^9)

Output

输出Phi(n)。

Input示例

8

Output示例

4

题解：

（1）， 对N进行因子分解，得到若干个素因子，那么在 [1, n] 之间， 凡是这些素因子的倍数都是与N不互素的

（2）， 使用容斥原理，对于素因子 P1, p2, ... pK,  比如P1就存在着 [p1, 2*p1, 3*p1, ... num1*p1],  (num1*p1 <= N),  可以得到：num1 = n/p1;

（3）， 另外多个素因子之间可能重复计算了公倍数， 利用 Num(p1) + Num(p2) + Num(p2) - Num(p1*p2) - Num(p2*p3) - Num(p3*p1) + Num(p1*p2*p3) 计算出实际的个数。

（4）， 最后，[1, N] 之间有N 个数字， 所以， N - 素因子及其倍数的个数， 得到答案。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
using namespace std; 

const int maxn = 2000000;
const int maxm = 100000; 

bool prime[maxn];
int  cnt, p[maxm], fac[maxm], output[maxm]; 

void IsPrime(){
	memset(prime, false, sizeof(prime));
	cnt = 0;
	for(int i=2; i<maxn; ++i){
		if(!prime[i]){
			p[cnt++] = i;
			for(int j=i+i; j<maxn; j+=i){
				prime[j] = true;
			}
		}
	}
}

int solve(int n){
	int k, num = 0, t = 0, tmp = n;
	for(int i=0; p[i]*p[i]<=n; ++i){
		if(n%p[i] == 0){
			fac[num++] = p[i];
			while(n%p[i]==0){ n=n/p[i]; }
		}
	}
	if(n > 1){
		fac[num++] = n;
	}
	output[t++] = -1;
	for(int i=0; i<num; ++i){
		k = t;
		for(int j=0; j<k; ++j){
			output[t++] = output[j]*fac[i]*(-1);
		}
	}
	int sum = 0;
	for(int i=1; i<t; ++i){
		sum = sum + tmp/output[i];
	}
	return sum;
}

int main(){
	//freopen("in.txt", "r", stdin); 

	IsPrime();
	int ans, n;
	while(scanf("%d", &n) != EOF){
		ans = solve(n);
		printf("%d\n",  (n - ans) );
	}
	return 0;
}

　　

Reference： http://www.cnblogs.com/jiangjing/archive/2013/06/03/3115470.html