【HNOI2008】Cards BZOJ 1004

Description

小春现在很清闲,面对书桌上的N张牌,他决定给每张染色,目前小春只有3种颜色:红色,蓝色,绿色.他询问Sun有多少种染色方案,Sun很快就给出了答案.进一步,小春要求染出Sr张红色,Sb张蓝色,Sg张绝色.他又询问有多少种方案,Sun想了一下,又给出了正确答案. 最后小春发明了M种不同的洗牌法,这里他又问Sun有多少种不同的染色方案.两种染色方法相同当且仅当其中一种可以通过任意的洗牌法(即可以使用多种洗牌法,而每种方法可以使用多次)洗成另一种.Sun发现这个问题有点难度,决定交给你,答案可能很大,只要求出答案除以P的余数(P为质数).

Input

第一行输入 5 个整数：Sr,Sb,Sg,m,p(m<=60,m+1<p<100)。n=Sr+Sb+Sg。接下来 m 行，每行描述
一种洗牌法，每行有 n 个用空格隔开的整数 X1X2...Xn，恰为 1 到 n 的一个排列，表示使用这种洗牌法，
第 i位变为原来的 Xi位的牌。输入数据保证任意多次洗牌都可用这 m种洗牌法中的一种代替，且对每种
洗牌法，都存在一种洗牌法使得能回到原状态。

Output

不同染法除以P的余数

Sample Input

1 1 1 2 7
2 3 1
3 1 2

Sample Output

HINT

有2 种本质上不同的染色法RGB 和RBG，使用洗牌法231 一次可得GBR 和BGR，使用洗牌法312 一次可得BRG 和GRB。

100%数据满足 Max{Sr,Sb,Sg}<=20。

思路

嘛~首先可以看到是组合数学的题目。之后就想大概是个什么模型。

看到在一个排列中元素可以交换，就想到了置换群，Polya计数法。

那么就是有这么多给你的置换方法，求本质上不同的排列有多少。我们将每一个置换群分解，找出置换的循环节：

比如置换1 4 3 5 2可以分解为(1)(2 4 5)(3)这三个循环节。

由polya计数法得：ans=所有置换中本质相同的方案的平均数。

看到100%数据满足 Max{Sr,Sb,Sg}<=20可以用dp做。

用f[i][j][k]表示用了i个红色，j个绿色，k个蓝色的方案数，则f[i][j][k]=f[i-size][j][k]+f[i][j-size][k]+f[i][j][k-size](size是当前循环节的大小)

最后不要忘记加上(1 2 3 ....n)这个循环，这个可以直接算出有N!/(sr!*sg!*sb!)

然后除以m+1，p为质数，用逆元算。

 #include <iostream>

 #include <cstring>

 #include <string>

 #include <cstdio>

 #include <cstdlib>

 #include <cmath>

 #include <algorithm>

 #include <queue>

 #include <stack>

 #include <map>

 #include <set>

 #include <list>

 #include <vector>

 #include <ctime>

 #include <functional>

 #define pritnf printf

 #define scafn scanf

 #define For(i,j,k) for(int i=(j);i<=(k);(i)++)

 #define Clear(a) memset(a,0,sizeof(a))

 using namespace std;

 typedef long long LL;

 typedef unsigned int Uint;

 const int INF=0x7fffffff;

 //==============struct declaration==============

 //==============var declaration=================

 const int MAXN=;

 int sr,sb,sg,n,m,p,MOD,cnt=;

 int ans=;

 int tran[MAXN*];

 int f[MAXN][MAXN][MAXN];

 bool vis[MAXN*];

 //==============function declaration============

 int quickpow(int a,int Exp);

 int inv(int a){return quickpow(a,MOD-);}

 int fact(int x){int ans=;for(int i=;i<=x;i++) ans=(ans*i)%MOD;return ans;}

 //==============main code=======================

 int main()

 {

 //#define FILE__

 #ifdef FILE__

   freopen("input.txt","r",stdin);

   freopen("output.txt","w",stdout);

 #endif

   scanf("%d%d%d%d%d",&sr,&sb,&sg,&m,&MOD);n=sr+sb+sg;

   for(int i=;i<=m;i++){

     for(int j=;j<=n;j++)

       scanf("%d",tran+j);

     memset(vis,false,sizeof(vis));memset(f,,sizeof(f));

     f[][][]=;cnt=;

     for(int p=;p<=n;p++){

       if (vis[p]) continue;

       cnt++;

       int siz=,x=p;

       while (!vis[x]){

         vis[x]=true;

         x=tran[x];

         siz++;

       }//找出循环节

       for(int i=sr;i>=;i--)

         for(int j=sb;j>=;j--)

           for(int k=sg;k>=;k--){

             if (i>=siz) f[i][j][k]+=f[i-siz][j][k];

             if (j>=siz) f[i][j][k]+=f[i][j-siz][k];

             if (k>=siz) f[i][j][k]+-f[i][j][k-siz];

             f[i][j][k]%=MOD;

           } //DP

     }

     ans=(ans+f[sr][sb][sg])%MOD;

   }

   ans=ans+fact(n)*inv(fact(sr))*inv(fact(sb))*inv(fact(sg));

   printf("%d\n",(ans*inv(m+))%MOD);

   return ;

 }

 //================fuction code====================

 int quickpow(int a,int Exp){

   if (Exp==) return ;

   if (Exp==) return a;

   int temp=quickpow(a,Exp/);

   temp=(temp*temp)%MOD;

   if (Exp&) temp=(temp*a)%MOD;

   return temp;

 }

Code