Catalan数(卡特兰数)
Catalan数(卡特兰数)
卡特兰数:规定h(0)=1,而h(1)=1,h(2)=2,h(3)=5,h(4)=14,h(5)=42,h(6)=132,h(7)=429,h(8)=1430,h(9)=4862,h(10)=16796,h(11)=58786,h(12)=208012,h(13)=742900,h(14)=2674440,h(15)=9694845·····················
原理
应用

3、在图书馆一共6个人在排队,3个还《面试宝典》一书,3个在借《面试宝典》一书,图书馆此时没有了面试宝典了,求他们排队的总数?
分析:和上面一题剧院买票时一样的
h(3)=5;所以总数为5*3!*3!=180.
思路:可以这样考虑,首先通过括号化,将P分成两个部分(就相当于分成了两个子问题),然后分别对两个部分进行括号化。比如分成(a1)×(a2×a3.....×an),然后再对(a1)和(a2×a3.....×an)分别括号化;又如分成(a1×a2)×(a3.....×an),然后再对(a1×a2)和(a3.....×an)括号化。
设n个矩阵的括号化方案的种数为f(n),那么问题的解为
f(n) = f(1)*f(n-1) + f(2)*f(n-2) + f(3)*f(n-3) + f(n-1)*f(1)。f(1)*f(n-1)表示分成(a1)×(a2×a3.....×an)两部分,然后分别括号化。
计算开始几项,f(1) = 1, f(2) = 1, f(3) = 2, f(4) = 5。结合递归式,不难发现f(n)等于h(n-1)。

设问题的解f(n),其中n表示顶点数,那么f(n) = f(2)*f(n-1) + f(3)*f(n-2) + ......f(n-2)*f(3) + f(n-1)*f(2)。f(2)*f(n-1)表示三个相邻的顶点构成一个三角形,那么另外两个部分的顶点数分别为2和n-1。
设f(2) = 1,那么f(3) = 1, f(4) = 2, f(5) = 5。结合递推式,不难发现f(n) 等于h(n-2)。
思路:以其中一个点为基点,编号为0,然后按顺时针方向将其他点依次编号。那么与编号为0相连点的编号一定是奇数,否则,这两个编号间含有奇数个点,势必会有个点被孤立,即在一条线段的两侧分别有一个孤立点,从而导致两线段相交。设选中的基点为A,与它连接的点为B,那么A和B将所有点分成两个部分,一部分位于A、B的左边,另一部分位于A、B的右边(详单与把问题划分为左右两个子问题)。然后分别对这两部分求解即可。
设问题的解f(n),那么f(n) = f(0)*f(n-2) + f(2)*f(n-4) + f(4)*f(n-6) + ......f(n-4)*f(2) + f(n-2)*f(0)。f(0)*f(n-2)表示编号0的点与编号1的点相连,此时位于它们右边的点的个数为0,而位于它们左边的点为2n-2。依次类推。
f(0) = 1, f(2) = 1, f(4) = 2。结合递归式,不难发现f(2n) 等于h(n)。
9、圆桌周围有 2n个人,他们两两握手,但没有交叉的方案数为h(n)
和上一题是一样的,都是圆上,都没有交叉。都是分成左右两个子问题来分析。
10、n*n的方格地图中,从一个角到另外一个角,不跨越对角线的路径数为h(n).
例如, 4×4方格地图中的路径有:
11、n个节点构成的二叉树,共有多少种情形?
和上一题是一样的,上一题是分为左右两个子问题,而这一题是二叉树,分成左孩子和右孩子两个子问题就好了。
思路:可以这样考虑,根肯定会占用一个结点,那么剩余的n-1个结点可以有如下的分配方式,T(0, n-1),T(1, n-2),...T(n-1, 0),设T(i, j)表示根的左子树含i个结点,右子树含j个结点。
设问题的解为f(n),那么f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + .......+ f(n-2)*f(1) + f(n-1)*f(0)。假设f(0) = 1,那么f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 5。结合递推式,不难发现f(n)等于h(n)。
12、拥有 n+1 个叶子节点的二叉树的数量为h(n).
例如 4个叶子节点的所有二叉树形态:

参考:
http://buptdtt.blog.51cto.com/2369962/832586
https://baike.baidu.com/item/%E5%8D%A1%E7%89%B9%E5%85%B0%E6%95%B0?fr=aladdin
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