luogu1265 公路修建

题目描述

某国有n个城市，它们互相之间没有公路相通，因此交通十分不便。为解决这一“行路难”的问题，政府决定修建公路。修建公路的任务由各城市共同完成。

修建工程分若干轮完成。在每一轮中，每个城市选择一个与它最近的城市，申请修建通往该城市的公路。政府负责审批这些申请以决定是否同意修建。

政府审批的规则如下：

（1）如果两个或以上城市申请修建同一条公路，则让它们共同修建；

（2）如果三个或以上的城市申请修建的公路成环。如下图，A申请修建公路AB，B申请修建公路BC，C申请修建公路CA。则政府将否决其中最短的一条公路的修建申请；

（3）其他情况的申请一律同意。

一轮修建结束后，可能会有若干城市可以通过公路直接或间接相连。这些可以互相：连通的城市即组成“城市联盟”。在下一轮修建中，每个“城市联盟”将被看作一个城市，发挥一个城市的作用。

当所有城市被组合成一个“城市联盟”时，修建工程也就完成了。

你的任务是根据城市的分布和前面讲到的规则，计算出将要修建的公路总长度。

题解

　　本题从第一条、城市联盟、选择最近的城市都可以看出最小生成树，关键在于第二条。我们考虑何时会出现第二条的情况。我们应当对每一个点相连的边长间的相对关系入手。设三角形边长为$a,b,c$，若成一个环，则$a\leq b,b\leq c,c\leq a\cdots$不对！$a$不可能小于$a$！所以第二种情况根本不可能存在。所以最小生成树即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;

const int MAX_NODE = 5010;
const double INF = 1e18;
int TotNode;
double MinLen[MAX_NODE];
bool InTree[MAX_NODE];

struct Coor
{
    int X, Y;
}_coors[MAX_NODE];

double Dist(const Coor& a, const Coor& b)
{
    double dx = b.X - a.X, dy = b.Y - a.Y;
    return sqrt(dx * dx + dy * dy);
}

double Prim()
{
    double ans = 0;
    InTree[1] = true;
    for (int i = 2; i <= TotNode; i++)
        MinLen[i] = Dist(_coors[1], _coors[i]);
    int cnt = 1;
    while (cnt <= TotNode - 1)
    {
        int u;
        double minLen = INF;
        for (int i = 1; i <= TotNode; i++)
            if (!InTree[i] && MinLen[i] < minLen)
            {
                minLen = MinLen[i];
                u = i;
            }
        if (minLen == INF)
            return -1;
        cnt++;
        ans += minLen;
        InTree[u] = true;
        for (int v = 1; v <= TotNode; v++)
            if (!InTree[v])
                MinLen[v] = min(MinLen[v], Dist(_coors[u], _coors[v]));
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d", &TotNode);
    for (int i = 1; i <= TotNode; i++)
        scanf("%d%d", &_coors[i].X, &_coors[i].Y);
    printf("%.2f\n", Prim());
    return 0;
}