[SDOI2014]数表

题目描述

有一张N*m的数表，其第i行第j列（1 < =i < =礼，1 < =j < =m）的数值为能同时整除i和j的所有自然数之和。给定a，计算数表中不大于a的数之和。

输入输出格式

输入格式：

输入包含多组数据。 输入的第一行一个整数Q表示测试点内的数据组数，接下来Q行，每行三个整数n，m，a(|a| < =10^9)描述一组数据。

输出格式：

对每组数据，输出一行一个整数，表示答案模2^31的值。

输入输出样例

输入样例#1：

2
4 4 3
10 10 5

输出样例#1：

20
148

说明

1 < =N．m < =10^5 ， 1 < =Q < =2*10^4

题解：

令F[i]为i的因数和,g[i]为gcd=i的数量

则ans=∑∑F[gcd(i,j)]

          =∑_dF[d]g[d]

g[d]=∑_i∑_j[gcd(i,j)==d]    (i<=n,j<=m)

　   =∑∑[gcd(i,j)==1]      (i<=n/d,j<=m/d)

       =∑∑∑_pμ(p)         (p|i,p|j)

       =∑_pμ(p)∑∑1        (p<=n/d,i<=n/dp,j<=m/dp)

       =∑_pμ(p)[n/dp][m/dp]

ans=∑_dF[d]∑_pμ(p)[n/dp][m/dp]

令k=dp

g[d]=∑_k[n/k][m/k]μ(k/d)  (k<=n，d|k)

ans=∑_k[n/k][m/k]∑_dF[d]μ(k/d)   (d|k)

令f[k]=∑_dF[d]μ(k/d)   (d|k)

处理处f的前缀和就行了，对于每个F[i],把它的f[x*i]全部加上F[i]*mu[x]

至于小于a的条件，离线按a排序，将F按从小到大顺序加入维护

分块就不说了

 #include<cstdio>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 using namespace std;
 struct data
 {
     int id,n,m,a;
 }a[];
 int Mod=(<<);
 int f[],mu[],ms[],prime[],tot;
 int c[],p[],now=,ans[];
 bool vis[];
 bool cmp2(data a,data b)
 {
     return a.a<b.a;
 }
 bool cmp(int a,int b)
 {
     return f[a]<f[b];
 }
 void mobius()
 {int i,j;
     mu[]=;
     ms[]=;f[]=;
     for (i=;i<=;i++)
     {
         if (vis[i]==)
         {
             mu[i]=-;
             f[i]=i+;
             ms[i]=i;
             prime[++tot]=i;
         }
         for (j=;j<=tot,prime[j]*i<=;j++)
         {
             vis[i*prime[j]]=;
             if (i%prime[j])
             {
                 ms[i*prime[j]]=prime[j];
                 f[prime[j]*i]=f[i]*f[prime[j]];
                 mu[i*prime[j]]=-mu[i];
             }
             else
             {
                 ms[prime[j]*i]=ms[i]*prime[j];
                 if (ms[i]==i) f[prime[j]*i]=(ms[prime[j]*i]*prime[j]-)/(prime[j]-);
                 else f[prime[j]*i]=f[i/ms[i]]*f[prime[j]*ms[i]];
                 mu[i*prime[j]]=;
                 break;
             }
         }
     }
 }
 void add(int x,int d)
 {
     while (x<=)
     {
         c[x]+=d;
         x+=(x&(-x));
     }
 }
 int query(int x)
 {
     int s=;
     while (x)
     {
         s+=c[x];
         x-=(x&(-x));
     }
     return s;
 }
 void solve(int x)
 {int j,pos,i,lasts,ss;
     for (;f[p[now]]<=a[x].a;now++)
     {
         for (j=;p[now]*j<=;j++)
         add(p[now]*j,f[p[now]]*mu[j]);
     }
     pos=;
     lasts=;
     for (i=;i<=a[x].n;i=pos+)
     {
         pos=min(a[x].n/(a[x].n/i),a[x].m/(a[x].m/i));
         ss=query(pos);
         ans[a[x].id]=(ans[a[x].id]+(a[x].n/i)*(a[x].m/i)*(ss-lasts));
         //cout<<ans[a[x].id]<<' ';
         lasts=ss;
     }
     while (ans[a[x].id]<) ans[a[x].id]+=Mod;
     //cout<<endl;
 }
 int main()
 {int T,i,j;
     cin>>T;
     for (i=;i<=T;i++)
     {
       scanf("%d%d%d",&a[i].n,&a[i].m,&a[i].a);
       if (a[i].n>a[i].m) swap(a[i].n,a[i].m);
         a[i].id=i;
     }
      mobius();
      for (i=;i<=;i++) p[i]=i;
       sort(p+,p+,cmp);
       sort(a+,a+T+,cmp2);
      for (i=;i<=T;i++)
      solve(i);
     for (i=;i<=T;i++)
      printf("%d\n",ans[i]);
 }