【BZOJ4916】神犇和蒟蒻（杜教筛）

【BZOJ4916】神犇和蒟蒻（杜教筛）

题面

BZOJ

求

\[\sum_{i=1}^n\mu(i^2)\ \ 和\ \sum_{i=1}^n\varphi(i^2)
\]

其中$$n<=10^9$$

题解

第一问

搞笑的

不会做？

算了。。

还是说一下：

想想\(\mu(x)\)是怎么算的？？？

既然是\(i^2\)，每个因数的个数一定不会是\(1\)

所以除了\(\mu(1)\)外一定都是\(0\)

所以第一问的答案一定是\(1\)

---

第二问：

先看看要求的是什么

\(\varphi(i^2)=i*\varphi(i)\)

为啥？？？

想想你线性筛是怎么写的，那么这个东西就很明显了。

\(10^9\)的范围

看着就不能线性筛

于是想到了杜教筛

设\(f(i)=\varphi(i^2)=i\varphi(i)\)

\(S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\)

现在先搞一个\(g(x)\)出来，可以推出式子

（难道这就是杜教筛的套路式子吗？？）

\[g(1)S(n)=\sum_{i=1}^n(f*g)(i)-\sum_{i=2}^ng(i)S(\frac{n}{i})
\]

现在要做的就是构造一个\(g(x)\)使得前面那玩意很好算

看一看\(f(i)=i\varphi(i)\)

往\(\varphi(i)\)的性质上面靠：

\(\sum_{d|i}\varphi(d)=i\)

要让$$(f*g)(i)=\sum_{d|i}f(d)g(\frac{i}{d})$$好算前缀和

直接写一下：

\[(f*g)(i)=\sum_{d|i}\varphi(d)dg(\frac{i}{d})
\]

要是能够把\(d\)给搞掉多好，所以\(g(\frac{i}{d})\)最好能够把\(d\)搞掉

发现令\(g(x)=x\)就可以啦

\[(f*g)(i)=\sum_{d|i}\varphi(d)d\frac{i}{d}
\]

\[=\sum_{d|i}\varphi(d)i
\]

\[=i\sum_{d|i}\varphi(d)
\]

\[=i^2
\]

这个玩意的前缀和多好算

\[\sum_{i=1}^n(g*f)(i)=1^2+2^2+.....n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]

所以把那个我认为的杜教筛的套路式子拿出来

\[g(1)S(n)=\sum_{i=1}^n(f*g)(i)-\sum_{i=2}^ng(i)S(\frac{n}{i})
\]

\[S(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\sum_{i=2}^niS(\frac{n}{i})
\]

看起来可以杜教筛了嗷。。。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define MAX 10000000
#define MOD 1000000007
int n,N;
int pri[MAX+10],phi[MAX+10],tot,inv=166666668;
bool zs[MAX+10];
map<int,int> M;
void pre(int N)
{
	zs[1]=true;phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;++i)
	{
		if(!zs[i])pri[++tot]=i,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=N;++j)
		{
			zs[i*pri[j]]=true;
			if(i%pri[j])phi[i*pri[j]]=1ll*phi[i]*phi[pri[j]]%MOD;
			else{phi[i*pri[j]]=1ll*phi[i]*pri[j]%MOD;break;}
		}
	}
	for(int i=1;i<=N;++i)phi[i]=(1ll*i*phi[i]%MOD+phi[i-1])%MOD;
}
int S(int x)
{
	if(x<=N)return phi[x];
	if(M[x])return M[x];
	int ret=1ll*x*(x+1)%MOD*(x+x+1)%MOD*inv%MOD;
	for(int i=2,j;i<=x;i=j+1)
	{
		j=x/(x/i);
		int tt=1ll*(i+j)*(j-i+1)/2%MOD;
		ret-=1ll*tt*S(x/i)%MOD;
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	}
	return M[x]=(ret+MOD)%MOD;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);puts("1");
	pre(N=min(n,MAX));
	printf("%d\n",S(n));
	return 0;
}