Codeforces Round #489 (Div. 2) E. Nastya and King-Shamans（线段树）

题意

给出一个长度为 \(n\) 的序列 \(\{a_i\}\) , 现在会进行 \(m\) 次操作 , 每次操作会修改某个 \(a_i\) 的值 ,

在每次操作完后你需要判断是否存在一个位置 \(i\), 满足 \(\displaystyle a_i = \sum_{j=1}^{i - 1}a_j\) 并求任意一个 \(i\) .

\(n, m ≤ {10}^5 , 0 ≤ a_i ≤ {10}^9\)

题解

考虑一个暴力，不妨首先从 \(i = 1\) 开始判断是否合法，由于 \(a_i\) 是单调不降的，符合条件的 \(a_i\) 一定大于等于当前前缀和。

每次用线段树找到大于等于当前前缀和的最左边的 \(a_i\) 并判断是否合法。（这个位置一定要在前缀和的右边）

这样为什么是对的呢，因为你下一次的起点不可能存在与现在的位置到下次位置之间的任意位置。

（因为每个值都不会 \(\ge\) 当前的前缀和）

这样做就是对的了，因为如果新的 \(a_i​\) 不合法，那么当前前缀和至少会达到上一次的两倍。

于是这样子查找的次数就是 \(O(\log w)\) 的 , 总复杂度是 \(O(m \log n \log w)\) .

总结

考虑一类题对于权值翻倍时候的复杂度是 \(O(\log w)\) 的，例如 ZJOI2018 历史 。

代码

#include <bits/stdc++.h>

#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ": " << (x) << endl
#define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)

using namespace std;

template<typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
template<typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}

inline int read() {
    int x(0), sgn(1); char ch(getchar());
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') sgn = -1;
    for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x * 10) + (ch ^ 48);
    return x * sgn;
}

void File() {
#ifdef zjp_shadow
	freopen ("E.in", "r", stdin);
	freopen ("E.out", "w", stdout);
#endif
}

const int N = 2e5 + 1e3;

typedef long long ll;

#define lson o << 1, l, mid
#define rson o << 1 | 1, mid + 1, r

int a[N];

template<int Maxn>
struct Segment_Tree {

	int maxv[Maxn]; ll sumv[Maxn];

	inline void Push_Up(int o) {
		sumv[o] = sumv[o << 1] + sumv[o << 1 | 1];
		maxv[o] = max(maxv[o << 1], maxv[o << 1 | 1]);
	}

	void Build(int o, int l, int r) {
		if (l == r) return (void)(maxv[o] = sumv[o] = a[l]);
		int mid = (l + r) >> 1; Build(lson); Build(rson); Push_Up(o);
	}

	void Update(int o, int l, int r, int up, int uv) {
		if (l == r) return (void)(sumv[o] = maxv[o] = uv);
		int mid = (l + r) >> 1;
		if (up <= mid) Update(lson, up, uv);
		else Update(rson, up, uv); Push_Up(o);
	}

	ll Sum(int o, int l, int r, int qr) {
		if (r <= qr) return sumv[o];
		int mid = (l + r) >> 1;
		return Sum(lson, qr) + (qr > mid ? Sum(rson, qr) : 0);
	}

	int Find(int o, int l, int r, int ql, ll val) {
		if (ql > r || maxv[o] < val) return 0;
		if (l == r) return l; int mid = (l + r) >> 1;
		int pos = Find(lson, ql, val);
		return pos ? pos : Find(rson, ql, val);
	}

};

Segment_Tree<N << 2> T;

int n, q;

inline int Solve() {
	if (a[1] == 0) return 1;
	int cur = 1; ll sum = a[1];
	for (;;) {
		int pos = T.Find(1, 1, n, cur + 1, sum);
		if (!pos) return -1;
		sum = T.Sum(1, 1, n, (cur = pos) - 1);
		if (sum == a[pos]) return pos; sum += a[pos];
	}
}

int main () {

	File();

	n = read(), q = read();

	For (i, 1, n) a[i] = read();
	T.Build(1, 1, n);

	For (i, 1, q) {
		int pos = read(), val = read();
		T.Update(1, 1, n, pos, a[pos] = val);
		printf ("%d\n", Solve());
	}

	return 0;

}