BZOJ1064 NOI2008 假面舞会 图论

传送门

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将一组关系\((A,B)\)之间连一条边，那么显然如果图中存在环长为\(len\)的环，那么面具的种数一定是\(len\)的因数。

值得注意的是这里环的关系除了\(A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow A\)类型以外，\(A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D + A \rightarrow D\)也是一种环，而后者的环长为\(3 - 1 = 2\)，是两条路的路径之差。为了方便计算后面这种环，改变一下加边方式，对于一组关系\((A,B)\)从\(A\)向\(B\)连一条权值为\(1\)的边，从\(B\)往\(A\)连一条权值为\(-1\)的边，这样两种环都可以在图上表示出来。

找环的方法就是先抽出一棵DFS树，对于每一条非树边加进去出现的环计算贡献。

注意如果某一个环中存在\(\geq 2\)条非树边，可以不统计入答案：不妨证明有\(2\)条非树边的情况。设两条边是\(A \rightarrow B\)和\(C \rightarrow D\)，DFS树根为\(E\)，那么存在有两条非树边的环\(E \rightarrow D \rightarrow C \rightarrow B \rightarrow A \rightarrow E\)，且同时存在\(E \rightarrow D \rightarrow C \rightarrow E\)和\(E \rightarrow B \rightarrow A \rightarrow E\)。经过\(2\)条非树边的环的权值正是后两条经过一条非树边的环的权值和，而\(gcd(a,b) = gcd(a , a+b) = gcd(b , a + b)\)，所以在后两个环加入答案的情况下，\(E \rightarrow D \rightarrow C \rightarrow B \rightarrow A \rightarrow E\)在答案中没有意义的。

如果图中有环，那么最后的最大答案就是所有环长的\(gcd\)，最小答案就是\(gcd\)因子中\(\geq 3\)的最小的那个。

如果图中没有环，因为可以连边把所有连通块连起来，那么最大答案就是所有连通块中的最长链的权值之和，最小答案就是\(3\)。

注意如果图中没有环而最长链权值之和\(\leq 3\)是要输出\(-1\ -1\)而不是\(3\ 3\)的

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<queue>
#define INF 0x3f3f3f3f
//This code is written by Itst
using namespace std;

inline int read(){
	int a = 0;
	char c = getchar();
	while(!isdigit(c) && c != EOF)
		c = getchar();
	while(isdigit(c)){
		a = a * 10 + c - 48;
		c = getchar();
	}
	return a;
}

const int MAXN = 100007;
struct Edge{
	int end , upEd , w;
}Ed[MAXN * 20];
int head[MAXN] , dis[MAXN] , N , M , cntEd , ans , minN , maxN , sum;
bool vis[MAXN];

inline int gcd(int a , int b){
	if(!a || !b) return a + b;
	a = a < 0 ? -a : a; b = b < 0 ? -b : b;
	int r = a % b;
	while(r){a = b; b = r; r = a % b;}
	return b;
}

inline void addEd(int a , int b , int c){
	Ed[++cntEd] = (Edge){b , head[a] , c};
	head[a] = cntEd;
}

void dfs(int x){
	minN = min(minN , dis[x]); maxN = max(maxN , dis[x]);
	vis[x] = 1;
	for(int i = head[x] ; i ; i = Ed[i].upEd)
		if(!vis[Ed[i].end]){
			dis[Ed[i].end] = dis[x] + Ed[i].w;
			dfs(Ed[i].end);
		}
		else
			ans = gcd(ans , dis[x] - dis[Ed[i].end] + Ed[i].w);
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in","r",stdin);
	//freopen("out","w",stdout);
#endif
	N = read(); M = read();
	for(int i = 1 ; i <= M ; ++i){
		int a = read() , b = read();
		addEd(a , b , 1); addEd(b , a , -1);
	}
	for(int i = 1 ; i <= N ; ++i)
		if(!vis[i]){
			minN = maxN = 0;
			dfs(i);
			sum += maxN - minN + 1;
		}
	if(!ans)
		if(sum >= 3) cout << sum << " 3";
		else cout << "-1 -1";
	else if(ans <= 2) cout << "-1 -1";
	else
		for(int j = 3 ; j <= ans ; ++j)
			if(ans % j == 0){
				cout << ans << ' ' << j;
				break;
			}
	return 0;
}