神经网络前向后向传播(理论推导+代码) 单层神经网络相当于logistic regression

建立神经网络的主要步骤是：

1. 定义模型结构（例如输入特征的数量）

2. 初始化模型的参数

3. 循环：

# 3.1 计算当前损失（正向传播）
# 3.2 计算当前梯度（反向传播）
# 3.3 更新参数（梯度下降）

实现代码

#单层神经网络，不含隐含层
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import h5py #是与H5文件中存储的数据集进行交互的常用软件包。
from lr_utils import load_dataset #在本文的资料包里，一个加载资料包里面的数据的简单功能的库

def load_dataset():
    train_dataset = h5py.File('datasets/train_catvnoncat.h5', "r")
    train_set_x_orig = np.array(train_dataset["train_set_x"][:]) # your train set features
    train_set_y_orig = np.array(train_dataset["train_set_y"][:]) # your train set labels

    test_dataset = h5py.File('datasets/test_catvnoncat.h5', "r")
    test_set_x_orig = np.array(test_dataset["test_set_x"][:]) # your test set features
    test_set_y_orig = np.array(test_dataset["test_set_y"][:]) # your test set labels

    classes = np.array(test_dataset["list_classes"][:]) # the list of classes

    train_set_y_orig = train_set_y_orig.reshape((1, train_set_y_orig.shape[0]))
    test_set_y_orig = test_set_y_orig.reshape((1, test_set_y_orig.shape[0]))

    return train_set_x_orig, train_set_y_orig, test_set_x_orig, test_set_y_orig, classes

# train_set_x_orig ：保存的是训练集里面的图像数据（本训练集有209张64x64的图像）。
# train_set_y_orig ：保存的是训练集的图像对应的分类值（【0 | 1】，0表示不是猫，1表示是猫）。
# test_set_x_orig ：保存的是测试集里面的图像数据（本训练集有50张64x64的图像）。
# test_set_y_orig ： 保存的是测试集的图像对应的分类值（【0 | 1】，0表示不是猫，1表示是猫）。
# classes ： 保存的是以bytes类型保存的两个字符串数据，数据为：[b’non-cat’ b’cat’]。

train_set_x_orig, train_set_y, test_set_x_orig, test_set_y, classes = load_dataset()

#查看第26张图片
index = 25
plt.imshow(train_set_x_orig[index])
plt.show()
print(str(train_set_y))#查看训练集里面的标签

#打印出当前的训练标签值
#使用np.squeeze的目的是压缩维度，【未压缩】train_set_y[:,index]的值为[1] , 【压缩后】np.squeeze(train_set_y[:,index])的值为1
#print("【使用np.squeeze：" + str(np.squeeze(train_set_y[:,index])) + "，不使用np.squeeze： " + str(train_set_y[:,index]) + "】")
#只有压缩后的值才能进行解码操作
# print(train_set_y)
# print(train_set_y[:,index]) #[1]
# print(np.squeeze(train_set_y[:,index]))#1
# print("y=" + str(train_set_y[:,index]) + ", it's a " + classes[np.squeeze(train_set_y[:,index])].decode("utf-8") + "' picture")
# 结果：y=[1], it's a cat' picture

m_train = train_set_y.shape[1] #训练集里图片的数量。
m_test = test_set_y.shape[1] #测试集里图片的数量。
num_px = train_set_x_orig.shape[1] #训练、测试集里面的图片的宽度和高度（均为64x64）。

#现在看一看我们加载的东西的具体情况
# print ("训练集的数量: m_train = " + str(m_train)) #m_train = 209
# print ("测试集的数量 : m_test = " + str(m_test)) #m_test = 50
# print ("每张图片的宽/高 : num_px = " + str(num_px)) #num_px = 64 均为64
# print ("每张图片的大小 : (" + str(num_px) + ", " + str(num_px) + ", 3)") #(64, 64, 3)
# print ("训练集_图片的维数 : " + str(train_set_x_orig.shape)) #(209, 64, 64, 3) [batch, height, width, channels]
# print ("训练集_标签的维数 : " + str(train_set_y.shape)) #(1, 209)
# print ("测试集_图片的维数: " + str(test_set_x_orig.shape)) #(50, 64, 64, 3)
# print ("测试集_标签的维数: " + str(test_set_y.shape))#(1, 50)

# 把维度为(64,64,3)的numpy数组构造为(64*64*3,1)的数组
# X_flatten = X.reshape(X.shape[0],-1).T # X.T是X的转置
# 当你想将形状（a，b，c，d）的矩阵X平铺成形状（b * c * d，a）的矩阵X_flatten时，可以使用以下代码：
# 这一段意思是指把数组变为209行的矩阵（因为训练集里有209张图片），但是我懒得算列有多少，
# 于是我就用-1告诉程序你帮我算，最后程序算出来时12288列，我再最后用一个T表示转置，这就变成了12288行，209列。测试集亦如此。
train_set_x_flatten = train_set_x_orig.reshape(train_set_x_orig.shape[0],-1).T
test_set_x_flatten = test_set_x_orig.reshape(test_set_x_orig.shape[0],-1).T

# print ("训练集降维最后的维度： " + str(train_set_x_flatten.shape)) #(12288, 209)
# print ("训练集_标签的维数 : " + str(train_set_y.shape)) #(1, 209)
# print ("测试集降维之后的维度: " + str(test_set_x_flatten.shape)) #(12288, 50)
# print ("测试集_标签的维数 : " + str(test_set_y.shape)) #(1, 50)

# 为了表示彩色图像，必须为每个像素指定红色，绿色和蓝色通道（RGB），因此像素值实际上是从0到255范围内的三个数字的向量。
# 机器学习中一个常见的预处理步骤是对数据集进行居中和标准化，这意味着可以减去每个示例中整个numpy数组的平均值，
# 然后将每个示例除以整个numpy数组的标准偏差。但对于图片数据集，它更简单，更方便，几乎可以将数据集的每一行除以255（像素通道的最大值），
# 因为在RGB中不存在比255大的数据，所以我们可以放心的除以255，让标准化的数据位于[0,1]之间，现在标准化我们的数据集：
train_set_x = train_set_x_flatten / 255
test_set_x = test_set_x_flatten / 255

def sigmoid(z):
    """参数：
            z  - 任何大小的标量或numpy数组。
        返回：
            s  -  sigmoid（z）"""
    s = 1 / (1 + np.exp(-z))
    return s

#测试sigmod
# print(sigmoid(0)) #0.5
# print(sigmoid(9.2))# 0.9998...

#初始化参数w和b
def initialize_with_zeros(dim):
    """此函数为w创建一个维度为（dim，1）的0向量，并将b初始化为0。
       参数：
           dim  - 我们想要的w矢量的大小（或者这种情况下的参数数量）
       返回：
           w  - 维度为（dim，1）的初始化向量。
           b  - 初始化的标量（对应于偏差）"""
    w = np.zeros(shape=(dim,1))
    b = 0
    # 使用断言来确保我要的数据是正确的
    assert(w.shape == (dim,1))#w的维度是(dim,1)
    assert(isinstance(b,float) or isinstance(b,int)) #b的类型是float或者是int
    return (w,b)

# 我们现在要实现一个计算成本函数及其渐变的函数propagate（）。
def propagate(w,b,X,Y):
    """实现前向和后向传播的成本函数及其梯度。
       参数：
           w  - 权重，大小不等的数组（num_px * num_px * 3，1）
           b  - 偏差，一个标量
           X  - 矩阵类型为（num_px * num_px * 3，训练数量）
           Y  - 真正的“标签”矢量（如果非猫则为0，如果是猫则为1），矩阵维度为(1,训练数据数量)
       返回：
           cost- 逻辑回归的负对数似然成本
           dw  - 相对于w的损失梯度，因此与w相同的形状
           db  - 相对于b的损失梯度，因此与b的形状相同"""
    m = X.shape[1]

    #正向传播
    A = sigmoid(np.dot(w.T,X) + b) #计算激活值
    cost = (-1/m) * np.sum(Y * np.log(A) + (1-Y) * (np.log(1-A)))#计算成本
    #反向传播
    dw = (1/m) * np.dot(X,(A-Y).T)
    db = (1/m) * np.sum(A-Y)

    assert (dw.shape == w.shape)
    assert (db.dtype == float)
    cost = np.squeeze(cost)
    assert (cost.shape == ())

    #创建一个字典，把dw和db保存起来
    grads = {
        "dw":dw,
        "db":db
    }
    return (grads,cost)

w,b,X,Y = np.array([[1],[2]]),2,np.array([[1,2],[3,4]]),np.array([[1,0]])
grads,cost = propagate(w,b,X,Y)
# print(grads['dw'])
#[[0.99993216]
 # [1.99980262]]
# print(grads['db'])#0.49993523062470574
# print(cost)#6.000064773192205

# 现在，我要使用渐变下降更新参数。
# 目标是通过最小化成本函数 JJ 来学习 ww和bb 。对于参数 θθ ，更新规则是 θ=θ−α dθθ=θ−α dθ，其中 αα 是学习率。
def optimize(w,b,X,Y,num_iterations,learning_rate,print_cost=False):
    """此函数通过运行梯度下降算法来优化w和b
    参数：
    :param w:权重，大小不等的数组（num_px * num_px * 3，1）
    :param b:偏差，一个标量
    :param X:维度为（num_px * num_px * 3，训练数据的数量）的数组。
    :param Y:真正的“标签”矢量（如果非猫则为0，如果是猫则为1），矩阵维度为(1,训练数据的数量)
    :param num_iterations:优化循环的迭代次数
    :param learning_rate:梯度下降更新规则的学习率
    :param print_cost:每100步打印一次损失值
    :return:
    返回：
        params  - 包含权重w和偏差b的字典
        grads  - 包含权重和偏差相对于成本函数的梯度的字典
        成本 - 优化期间计算的所有成本列表，将用于绘制学习曲线。
    提示：
    我们需要写下两个步骤并遍历它们：
        1）计算当前参数的成本和梯度，使用propagate（）。
        2）使用w和b的梯度下降法则更新参数。
    """
    costs = []
    for i in range(num_iterations):
        grads,cost = propagate(w,b,X,Y)
        dw = grads['dw']
        db = grads['db']

        w = w - learning_rate * dw
        b = b - learning_rate * db

        #记录成本
        if i % 100 == 0:
            costs.append(cost)
        #打印成本数据
        if print_cost and (i % 100) == 0:
            print("迭代的次数:%i,误差值:%f"%(i,cost))

    params = {"w":w,
              "b":b}
    grads = {"dw":dw,
             "db":db}
    return (params,grads,costs)

#测试
# w, b, X, Y = np.array([[1], [2]]), 2, np.array([[1,2], [3,4]]), np.array([[1, 0]])
# params,grads,costs = optimize(w,b,X,Y,num_iterations=100,learning_rate=0.009,print_cost=False)
# print("w"+str(params['w']))
# w[[0.1124579 ]
#  [0.23106775]]
# print("b"+str(params['b']))#b1.5593049248448891
# print("dw"+str(grads['dw']))
# dw[[0.90158428]
#  [1.76250842]]
# print("db"+str(grads['db']))
# db0.4304620716786828

# ptimize函数会输出已学习的w和b的值，我们可以使用w和b来预测数据集X的标签。
# 现在我们要实现预测函数predict（）。计算预测有两个步骤：
# 1.计算 Y^=A=σ(wTX+b)
# 2.将a的值变为0（如果激活值<= 0.5）或者为1（如果激活值> 0.5），
# 然后将预测值存储在向量Y_prediction中。

def predict(w,b,X):
    """使用学习逻辑回归参数logistic （w，b）预测标签是0还是1，
        参数：
            w  - 权重，大小不等的数组（num_px * num_px * 3，1）
            b  - 偏差，一个标量
            X  - 维度为（num_px * num_px * 3，训练数据的数量）的数据
        返回：
            Y_prediction  - 包含X中所有图片的所有预测【0 | 1】的一个numpy数组（向量）"""
    m = X.shape[1] #图片的数量
    Y_prediction = np.zeros((1,m))
    w = w.reshape(X.shape[0],1)

    #预测猫在图片中出现的概率
    A = sigmoid(np.dot(w.T,X) + b)
    for i in range(A.shape[1]):
        Y_prediction[0,i] = 1 if A[0,i] > 0.5 else 0
    assert(Y_prediction.shape == (1,m))
    return Y_prediction

#测试
w,b,X,Y = np.array([[1],[2]]),2,np.array([[1,2],[3,4]]),np.array([[1,0]])
# print("predict",str(predict(w,b,X)))
#predict [[1. 1.]]

# 就目前而言，我们基本上把所有的东西都做完了，现在我们要把这些函数统统整合到一个model()函数中，
# 届时只需要调用一个model()就基本上完成所有的事了。
def model(X_train , Y_train , X_test , Y_test , num_iterations = 2000 , learning_rate = 0.5 , print_cost = False):
    """通过调用之前实现的函数来构建逻辑回归模型
        参数：
            X_train  - numpy的数组,维度为（num_px * num_px * 3，m_train）的训练集
            Y_train  - numpy的数组,维度为（1，m_train）（矢量）的训练标签集
            X_test   - numpy的数组,维度为（num_px * num_px * 3，m_test）的测试集
            Y_test   - numpy的数组,维度为（1，m_test）的（向量）的测试标签集
            num_iterations  - 表示用于优化参数的迭代次数的超参数
            learning_rate  - 表示optimize（）更新规则中使用的学习速率的超参数
            print_cost  - 设置为true以每100次迭代打印成本
        返回：
            d  - 包含有关模型信息的字典。"""
    w, b = initialize_with_zeros (X_train.shape[0])

    parameters, grads, costs = optimize(w, b, X_train, Y_train, num_iterations, learning_rate, print_cost)

    # 从字典“参数”中检索参数w和b
    w, b = parameters["w"], parameters["b"]

    # 预测测试/训练集的例子
    Y_prediction_test = predict (w, b, X_test)
    Y_prediction_train = predict (w, b, X_train)

    # 打印训练后的准确性
    print ("训练集准确性：", format (100 - np.mean (np.abs(Y_prediction_train - Y_train)) * 100), "%")
    print ("测试集准确性：", format (100 - np.mean (np.abs(Y_prediction_test - Y_test)) * 100), "%")

    d = {
        "costs": costs,
        "Y_prediction_test": Y_prediction_test,
        "Y_prediciton_train": Y_prediction_train,
        "w": w,
        "b": b,
        "learning_rate": learning_rate,
        "num_iterations": num_iterations}
    return d

print("====================测试model====================")
#这里加载的是真实的数据，请参见上面的代码部分。
d = model(train_set_x, train_set_y, test_set_x, test_set_y, num_iterations = 2000, learning_rate = 0.005, print_cost = True)

# 画图
print(d['costs'])
costs = np.squeeze(d['costs'])
print(costs)
plt.plot(costs)
plt.xlabel('iterations(per hundreds)')
plt.ylabel('cost')
plt.title('learning rate ='+str(d['learning_rate']))
plt.show()

====================测试model====================
迭代的次数:0,误差值:0.693147
迭代的次数:100,误差值:0.584508
迭代的次数:200,误差值:0.466949
迭代的次数:300,误差值:0.376007
迭代的次数:400,误差值:0.331463
迭代的次数:500,误差值:0.303273
迭代的次数:600,误差值:0.279880
迭代的次数:700,误差值:0.260042
迭代的次数:800,误差值:0.242941
迭代的次数:900,误差值:0.228004
迭代的次数:1000,误差值:0.214820
迭代的次数:1100,误差值:0.203078
迭代的次数:1200,误差值:0.192544
迭代的次数:1300,误差值:0.183033
迭代的次数:1400,误差值:0.174399
迭代的次数:1500,误差值:0.166521
迭代的次数:1600,误差值:0.159305
迭代的次数:1700,误差值:0.152667
迭代的次数:1800,误差值:0.146542
迭代的次数:1900,误差值:0.140872
训练集准确性： 99.04306220095694 %
测试集准确性： 70.0 %

learning_rates = [0.01,0.001,0.0001]
models = {}
for i in learning_rates:
    print("learning_rate",i)
    models[str(i)] = model(train_set_x,train_set_y,test_set_x,test_set_y,num_iterations=1500,learning_rate=i,print_cost=False)
    print('\n'+'------------------------------------------------'+'\n')

for i in learning_rates:
    plt.plot(np.squeeze(models[str(i)]['costs']),label=str(models[str(i)]['learning_rate']))

plt.ylabel('cost')
plt.xlabel('iteration')

legend = plt.legend(loc='upper center',shadow=True)
frame = legend.get_frame()
frame.set_facecolor('0.90')
plt.show()

====================测试model====================
learning_rate 0.01
训练集准确性： 99.52153110047847 %
测试集准确性： 68.0 %

------------------------------------------------

learning_rate 0.001
训练集准确性： 88.99521531100478 %
测试集准确性： 64.0 %

------------------------------------------------

learning_rate 0.0001
训练集准确性： 68.42105263157895 %
测试集准确性： 36.0 %

------------------------------------------------

参考

[1]: https://blog.csdn.net/weixin_40920228/article/details/80709216

神经网络反向传播推导超简单

[2]: https://blog.csdn.net/u013733326/article/details/79639509

Course 1 - 神经网络和深度学习 - 第二周作业