【专题】区间dp

1.【nyoj737】石子合并

传送门：点击打开链接

描述    有N堆石子排成一排，每堆石子有一定的数量。现要将N堆石子并成为一堆。合并的过程只能每次将相邻的两堆石子堆成一堆，每次合并花费的代价为这两堆石子的和，经过N-1次合并后成为一堆。求出总的代价最小值。

输入

有多组测试数据，输入到文件结束。
每组测试数据第一行有一个整数n，表示有n堆石子。
接下来的一行有n（0< n <200）个数，分别表示这n堆石子的数目，用空格隔开

输出

输出总代价的最小值，占单独的一行

样例输入

3
1 2 3
7
13 7 8 16 21 4 18

样例输出

9
239

思路：

dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[i][j])，dp[i][j]代表从i到j合并的最小值，sum[i][j]代表从i到j的价值和。

区间dp的循环是从小区间到大区间，根据这一规律写出循环结构。

注意dp[i][i]是0。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[][],a[],sum[][];
int main()
{
    int n,i,j,k;
    while(cin>>n)
    {
        memset(sum,,sizeof(sum));
        memset(dp,0x3f3f3f3f,sizeof(dp));
        for(i=; i<=n; i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            dp[i][i]=;
            sum[i][i]=a[i];
        }
        for(i=; i<n; i++)
        {
            for(j=i+; j<=n; j++)
                sum[i][j]+=sum[i][j-]+a[j];
        }
        for(int len=; len<=n; len++)
            for(i=; i<=n-len+; i++)
            {
                j=i+len-;
                for(k=i; k+<=j; k++)
                    dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+][j]+sum[i][j]);
            }
        printf("%d\n",dp[][n]);
    }
    return ;
}  

2.【nyoj37】回文字符串

传送门：点击打开链接

给你一个字符串，可在任意位置添加字符，最少再添加几个字符，可以使这个字符串成为回文字符串。

样例输入

1
Ab3bd

样例输出

2

思路1：

利用反串找LCA

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char s[];
int dp[][];
int main()
{
    int t,i,j;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        scanf("%s",s);
        int n=strlen(s);
        memset(dp,0x3f3f3f3f,sizeof(dp));
        dp[][]=;
        for(i=; i<n; i++)
            dp[i][i]=dp[i][i-]=;
        for(int len=; len<=n; len++)
            for(i=; i<=n-len; i++)
            {
                j=i+len-;
                if(s[i]==s[j]) dp[i][j]=dp[i+][j-];
                else dp[i][j]=min(dp[i+][j]+,dp[i][j-]+);
            }
        printf("%d\n",dp[][n-]);
    }
} 

思路2：

s[i]=s[j],dp[i][j]=dp[i+1][j-1];若!=，dp[i][j]=min(dp[i+1][j]+1,dp[i][j-1]+1)

解释一下，假如回文串是「1123」,dp[1][4] = min(dp[1][3],dp[2][4]) + 1,先把「112」看成一个整体，dp[1][3] = 1,就是说再补一个就可以回文，最后加上一个「3」，也就是 +1 操作；「123」同理。

注意dp[i][i]=0,当len=2时，若s[i]=s[j]则dp[i][j]=0,所以初始化dp[i][i-1]也要全部赋为0

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char s[];
int dp[][];
int main()
{
    int t,i,j;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        scanf("%s",s);
        int n=strlen(s);
        memset(dp,0x3f3f3f3f,sizeof(dp));
        dp[][]=;
        for(i=; i<n; i++)
            dp[i][i]=dp[i][i-]=;
        for(int len=; len<=n; len++)
            for(i=; i<=n-len; i++)
            {
                j=i+len-;
                if(s[i]==s[j]) dp[i][j]=dp[i+][j-];
                else dp[i][j]=min(dp[i+][j]+,dp[i][j-]+);
            }
        printf("%d\n",dp[][n-]);
    }
} 

3.【nyoj15】括号匹配（二）

传送门：点击打开链接

描述给你一个字符串，里面只包含"(",")","[","]"四种符号，请问你需要至少添加多少个括号才能使这些括号匹配起来。
如：
[]是匹配的
([])[]是匹配的
((]是不匹配的
([)]是不匹配的

输入

第一行输入一个正整数N，表示测试数据组数(N<=10)
每组测试数据都只有一行，是一个字符串S，S中只包含以上所说的四种字符，S的长度不超过100

输出

对于每组测试数据都输出一个正整数，表示最少需要添加的括号的数量。每组测试输出占一行

样例输入

4
[]
([])[]
((]
([)]

样例输出

0
0
3
2

思路：

dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j])，特殊情况当s[i]与s[j]匹配时，dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i+1][j-1])

注意当截取长度为2且s[i]与s[j]匹配时，不需要添加符号，所以初始化dp[i][i-1]=0，dp[i][i]=1。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char s[];
int dp[][];
int main()
{
    int t,i,j,k;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        scanf("%s",s);
        int n=strlen(s);
        memset(dp,0x3f3f3f3f,sizeof(dp));
        dp[][]=;
        for(i=; i<n; i++)
        {
            dp[i][i]=;
            dp[i][i-]=;
        }
        for(int len=; len<=n; len++)
            for(i=; i<=n-len; i++)
            {
                j=i+len-;
                if(s[i]=='['&&s[j]==']'||s[i]=='('&&s[j]==')')
                    dp[i][j]=dp[i+][j-];
                for(k=i; k+<=j; k++)//这里不是else
                    dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k+][j],dp[i][j]);
            }
        printf("%d\n",dp[][n-]);
    }
}

4.【nyoj746】整数划分（四）

传送门：点击打开链接

给出两个整数 n , m ,要求在 n 中加入m - 1 个乘号，将n分成m段，求出这m段的最大乘积

输入

第一行是一个整数T，表示有T组测试数据
接下来T行，每行有两个正整数 n，m ( 1<= n < 10^19, 0 < m <= n的位数)；

输出

输出每组测试样例结果为一个整数占一行

样例输入

2
111 2
1111 2

样例输出

11
121

思路：

由于最大的划分所有的乘号都是固定的，可以从前到后以此找出所有乘号的位置，找出最优子结构（从结论入手向前拆分问题）。

dp[i][j]代表0到i个数字中添加j个乘号，要求dp[n][m]即求dp[k][m-1]*a[k+1][i],应用到所有dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[k][j-1]*a[k+1][i])，a[i][j]是从i到j的组合数。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL dp[][],a[][];
char s[];
int main()
{
    LL n,m,t,i,j,k;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        scanf("%s%lld",s,&m);
        n=strlen(s);
        memset(dp,,sizeof(dp));
        for(i=; i<n; i++)
            a[i][i]=s[i]-'';
        for(i=; i<n-; i++)
            for(j=i+; j<n; j++)
                a[i][j]=a[i][j-]*+(s[j]-'');
        for(i=; i<n; i++)
            dp[i][]=a[][i];
        for(j=; j<=m-; j++)
            for(i=; i<n; i++)
                for(k=; k+<=i; k++)
                    dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[k][j-]*a[k+][i]);
        printf("%lld\n",dp[n-][m-]);
    }
    return ;
}