P3537 [POI2012]SZA-Cloakroom 题解

题目大意

有 \(n\) 件物品，每件物品有三个属性 \(a_i, b_i, c_i (a_i < b_i)\)。

再给出 \(q\) 个询问，每个询问由非负整数 \(m, k, s\)组成，问是否能够选出某些物品使得：

1. 对于每个选的物品 \(i\)，满足 \(a_i \leq m\) 且 \(b_i > m + s\)。

2. 所有选出物品的 \(c\) 的和正好是 \(k\)。

分析

如果没有 \(a_i \leq m\) 且 \(b_i > m + s\) 的条件，明显是个背包。

然而有这两个限制就不好办了。我们可以先把询问离线下来，按照 \(m\) 排序（当然 \(a_i\) 也要排序），这样就把二维偏序转化成了一维。（大概可以这样理解）。

接下来，我们需要判断在 \(\forall a_i \leq m\) 和 \(\sum c_i = k\) 满足后 \([\forall b_i > m + s]\) 是否成立。

这个也很好办。我们只需要将背包状态设为 \(f_i\) 表示背包容积（即放入的 \(c\)）大小为 \(i\) 时 \(b\) 的最小值的最大值。只要这个最小值比 \(m + s\) 大，那么就一定合法，否则一定不合法。

最后一定注意输入顺序是 \(c, a, b\) 而不是 \(a, b, c\)！

参考代码

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 1010, M = 1000010;
struct Node {
    int a, b, c;
    bool operator < (const Node& tmp)const {
        return a < tmp.a;
    }
}p[N];
struct Queries {
    int m, k, s, id;
    bool operator < (const Queries& tmp)const {
        return m < tmp.m;
    }
}q[M];
int f[100010];
int n, m;
bool ans[M];

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        scanf("%d%d%d", &p[i].c, &p[i].a, &p[i].b);
    sort(p + 1, p + n + 1);
    scanf("%d", &m);
    for (int i = 1; i <= m; i ++ )
        scanf("%d%d%d", &q[i].m, &q[i].k, &q[i].s),
        q[i].id = i;
    sort(q + 1, q + m + 1); // 将限制 A 消除

    int now = 1; f[0] = 0x3f3f3f3f;
    for (int i = 1; i <= m; i ++ ) {
        while (now <= n && p[now].a <= q[i].m) {
            for (int j = 100000; j >= p[now].c; j -- )
                f[j] = max(f[j], min(f[j - p[now].c], p[now].b)); // 背包满足限制 C
            now ++ ;
        }
        if (f[q[i].k] > q[i].m + q[i].s) ans[q[i].id] = true; // 判断限制 B 是否满足
    }

    for (int i = 1; i <= m; i ++ )
        puts(ans[i] ? "TAK" : "NIE");
    return 0;
}