2022-10-22 CSP赛前隔离时的模拟赛 1:3

T1

一个比较迷的数论题，推柿子。

首先能得到基础柿子：

\[m\cdot x + \frac{m(m-1)\cdot y}{2} = n
\]

略微化简得：

\[2x + (m-1)y = \frac{2n}{m}
\]

因为 \(x\)，\((m-1)\) 和 \(y\) 是整数，所以 \(2n\) 必须整除 \(m\)，否则无解。

（当时用了一种更迷的办法证的，太麻烦不列了。

以 \(m\) 进行分讨：

• \(m = 1\)，显然只有一种方法。
• \(m\) 是奇数，则包含 \(\frac{f}{m\div 2 \times 2} + 1\) 种方法。
  
  （这种 \(m\div 2\times 2\) 的表示方法意为将二进制下 \(m\) 的最后一位变为 \(0\)。）
• \(m\) 是偶数，则包含 \(\frac{f}{(m-1)\times 2}+1\) 种方法。

T2

使用一种类似于摩尔投票法的东西（Keven_He 说像，我不太觉得）：

将所有人分为两队，设第一队的总攻击力为 \(a\)，第二队的总攻击力为 \(b\)。

不妨设 \(a \le b\)，求 \(\min(b-a)\)。

很易理解：

因为他们在一个擂台上，而且迟早要打，所以可以意会为一起打群架。

将 \(sum\) 设为所有人攻击力之和。

要求 \(\min(b-a)\)，即要求 \(a\) 与 \(b\) 尽量接近，可以使用 01背包求解：

设 \(sum \div 2\) 为背包容量，每个人的攻击力为同时为体积与价值。

最大价值即为符合要求的 \(a\)，而 \(b\) 为 \(sum - a\)，则答案为 \(sum - 2\cdot a\)。

T3

T4

从前到后扫一遍，每一次只要当前的关怀值不为负，就有可能对后面作出贡献，将其更新为目前的关怀值 \(-(k-1)\)，否则一定不会对后面作出正贡献，将其更新为 \(0\)。

每一次在关怀值减少的时候更新答案。