参考博客:http://bubkoo.com/2014/01/14/sort-algorithm/heap-sort/

1.二叉树

二叉树的第 i 层至多有 2i-1 个结点深度为 k 的二叉树至多有 2k - 1 个结点;对任何一棵二叉树 T,如果其终端结点数为 n0,度为 2 的结点数为 n2,则n0 = n2 + 1

二叉树又分为完全二叉树(complete binary tree)和满二叉树(full binary tree)

满二叉树:一棵深度为 k,且有 2k - 1 个节点称之为满二叉树

    深度为 3 的满二叉树 full binary tree

完全二叉树:深度为 k,有 n 个节点的二叉树,当且仅当其每一个节点都与深度为 k 的满二叉树中序号为 1 至 n 的节点对应时,称之为完全二叉树

  深度为 3 的完全二叉树 complete binary tree

2. 什么是堆?

堆(二叉堆)可以视为一棵完全的二叉树,完全二叉树的一个“优秀”的性质是,除了最底层之外,每一层都是满的,这使得堆可以利用数组来表示(普通的一般的二叉树通常用链表作为基本容器表示),每一个结点对应数组中的一个元素。

对于给定的某个结点的下标 i,可以很容易的计算出这个结点的父结点、孩子结点的下标:

  • Parent(i) = floor(i/2),i 的父节点下标
  • Left(i) = 2i,i 的左子节点下标
  • Right(i) = 2i + 1,i 的右子节点下标

二叉堆一般分为两种:最大堆和最小堆。

最大堆:

  • 最大堆中的最大元素值出现在根结点(堆顶)
  • 堆中每个父节点的元素值都大于等于其孩子结点(如果存在)

最小堆:

  • 最小堆中的最小元素值出现在根结点(堆顶)
  • 堆中每个父节点的元素值都小于等于其孩子结点(如果存在)

3. 堆排序原理

堆排序就是把最大堆堆顶的最大数取出,将剩余的堆继续调整为最大堆,再次将堆顶的最大数取出,这个过程持续到剩余数只有一个时结束。在堆中定义以下几种操作:

  • 最大堆调整(Max-Heapify):将堆的末端子节点作调整,使得子节点永远小于父节点
  • 创建最大堆(Build-Max-Heap):将堆所有数据重新排序,使其成为最大堆
  • 堆排序(Heap-Sort):移除位于第一个数据的根节点,并做最大堆调整的递归运算

Max-Heapify:递归调用自身

Build-Max-Heap:调用Max-Heapify

Heap-Sort:接口,调用Build-Max-Heap和Max-Heapify

数组都是 Zero-Based,这就意味着我们的堆数据结构模型要发生改变.。。。

相应的,几个计算公式也要作出相应调整:

  • Parent(i) = floor((i-1)/2),i 的父节点下标
  • Left(i) = 2i + 1,i 的左子节点下标
  • Right(i) = 2(i + 1),i 的右子节点下标

最大堆调整(MAX‐HEAPIFY)的作用是保持最大堆的性质,是创建最大堆的核心子程序,由于一次调整后,堆仍然违反堆性质,所以需要递归的测试,使得整个堆都满足堆性质

创建最大堆(Build-Max-Heap)的作用是将一个数组改造成一个最大堆,接受数组和堆大小两个参数,Build-Max-Heap 将自下而上的调用 Max-Heapify 来改造数组,建立最大堆,

    因为 Max-Heapify 能够保证下标 i 的结点之后结点都满足最大堆的性质,所以自下而上的调用 Max-Heapify 能够在改造过程中保持这一性质

堆排序(Heap-Sort)是堆排序的接口算法,Heap-Sort先调用Build-Max-Heap将数组改造为最大堆,然后将堆顶和堆底元素交换,之后将底部上升,最后重新调用Max-Heapify保持最大堆性质。由于堆顶元素必然是堆中最大的元素,所以一次操作之后,堆中存在的最大元素被分离出堆,重复n-1次之后,数组排列完毕。

       

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