皮尔逊相关系数与余弦相似度（Pearson Correlation Coefficient & Cosine Similarity）

之前《皮尔逊相关系数（Pearson Correlation Coefficient, Pearson's r）》一文介绍了皮尔逊相关系数。那么，皮尔逊相关系数（Pearson Correlation Coefficient）和余弦相似度（Cosine Similarity）之间有什么关联呢？

首先，我们来看一下什么是余弦相似度。说到余弦相似度，就要用到余弦定理（Law of Cosine）。

假设两个向量和之间的夹角为。，向量的长度分别是和，对应的边长为向量减去向量的长度，也就是。

根据余弦定理：

对上式进行推导：

这样最终可以得到：

就是余弦相似度，取值在-1和1之间。如果两个向量方向相反，那么等于-1；如果两个向量方向相同，那么等于1。可以看出，两个向量之间的夹角越小，其夹角余弦越大（越相似）。因此余弦相似度可以用来度量两个变量之间的相似程度。

上面针对的是二维空间，(x1,y1)，(x2,y2)两个向量之间的夹角余弦为：

扩展到n维空间，(x1,x2,...,xn)，(y1,y2,...,yn)两个向量之间的夹角余弦就是：

如果对上式数据做标准化处理：

夹角余弦公式就会变为：

对比皮尔逊相关系数的公式：

这两者不是完全一样吗？

因此，我们得到结论：皮尔逊相关系数就是把两组数据标准化处理之后的向量夹角的余弦。