LA 7056 Colorful Toy Polya定理

题意：

平面上给出一个\(N\)个点\(M\)条边的无向图，要用\(C\)种颜色去给每个顶点染色。

如果一种染色方案可以旋转得到另一种染色方案，那么说明这两种染色方案是等价的。

求所有染色方案数 \(mod \: 10^9+7\)

分析：

这种等价类计数的问题可以用Polya定理来解决。

首先这个图形要想能旋转，本身必须中心对称，即旋转以后的顶点和边要和原图完全重合，一一对应。

事实上，旋转的角度只能是\(90^{\circ}\)的整数倍。

因为给出来的点都是整点，求出来的对称中心的坐标也都是有理数。如果再旋转更小的角度的话(比如\(60^{\circ}\))，就一定会出现无理数的坐标，所以这是不可能的。

所以只会有一下三种情况：

• 图本身不对称，置换群只有一个恒等置换
• 图是中心对称，置换群有两个置换：恒等置换 和 逆时针旋转\(180^{\circ}\)
• 图不仅是中心对称，而且可以旋转\(90^{\circ}\)，则置换群有四个置换：恒等置换 逆时针旋转\(90^{\circ}\) 逆时针旋转\(180^{\circ}\) 和 逆时针旋转\(270^{\circ}\)

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <map>
#define MP make_pair
using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;
typedef long long LL;
const int maxn = 50 + 10;
const double eps = 1e-8;
const LL MOD = 1000000007;

void add_mod(LL& a, LL b) {
	a += b; if(a >= MOD) a -= MOD;
}

LL pow_mod(LL a, int n) {
	LL ans = 1LL;
	while(n) {
		if(n & 1) ans = ans * a % MOD;
		a = a * a % MOD;
		n >>= 1;
	}
	return ans;
}

LL Inverse(LL a) { return pow_mod(a, MOD - 2); }

int dcmp(double x) {
	if(fabs(x) < eps) return 0;
	return x < 0 ? -1 : 1;
}

struct Point
{
	double x, y;
	Point(double x = 0, double y = 0):x(x), y(y) {}
	void read() { scanf("%lf%lf", &x, &y); }
};

typedef Point Vector;

Point operator + (const Point& A, const Point& B) {
	return Point(A.x + B.x, A.y + B.y);
}

Point operator - (const Point& A, const Point& B) {
	return Point(A.x - B.x, A.y - B.y);
}

Point operator * (const Point& A, double p) {
	return Point(A.x * p, A.y * p);
}

Point operator / (const Point& A, double p) {
	return Point(A.x / p, A.y / p);
}

bool operator == (const Point& A, const Point& B) {
	return dcmp(A.x - B.x) == 0 && dcmp(A.y - B.y) == 0;
}

int n, m, c;
Point p[maxn], center;
bool G[maxn][maxn];
PII edges[maxn * maxn];

Point Rotate(Point P, int n) {
	if(n == 0) return P;
	Vector v = P - center;
	if(n == 1) return center + Vector(-v.y, v.x);
	if(n == 2) return center + Vector(-v.x, -v.y);
	if(n == 3) return center + Vector(v.y, -v.x);
}

int Findit(Point q) {
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		if(p[i] == q) return i;
	return 0;
}

int t[maxn];
bool vis[maxn];

bool RotateGraph(int x) {
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		t[i] = Findit(Rotate(p[i], x));
		if(t[i] == 0) return false;
	}
	for(int i = 0; i < m; i++) {
		int u = edges[i].first, v = edges[i].second;
		if(!G[t[u]][t[v]]) return false;
	}
	return true;
}

int Cycle() {
	memset(vis, false, sizeof(vis));
	int ans = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++) if(!vis[i]) {
		ans++;
		vis[i] = true;
		for(int s = t[i]; s != i; s = t[s]) {
			vis[s] = true;
		}
	}
	return ans;
}

int main() {
	//freopen("7056.txt", "r", stdin);

	LL inv_2 = Inverse(2), inv_4 = Inverse(4);

	int T; scanf("%d", &T);
	while(T--) {
		scanf("%d%d%d", &n, &m, &c);
		center = Point(0, 0);

		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			p[i].read();
			center = center + p[i];
		}
		center = center / n;

		memset(G, false, sizeof(G));
		for(int u, v, i = 0; i < m; i++) {
			scanf("%d%d", &u, &v);
			edges[i] = MP(u, v);
			G[u][v] = G[v][u] = true;
		}

		LL ans = pow_mod(c, n) % MOD;
		if(!RotateGraph(2)) { printf("%lld\n", ans); continue; }

		int k = Cycle();
		add_mod(ans, pow_mod(c, k));

		if(!RotateGraph(1)) {
			ans = ans * inv_2 % MOD;
			printf("%lld\n", ans);
			continue;
		}

		k = Cycle();
		add_mod(ans, (pow_mod(c, k) * 2) % MOD);
		ans = ans * inv_4 % MOD;
		printf("%lld\n", ans);
	}

	return 0;
}