题意:给一个3*n的矩阵,要求用1*2的骨牌来填满,有多少种方案?

思路:

  官网题解用的仍然是矩阵快速幂的方式。复杂度O(logn*83)。

  这样做需要构造一个23*23的矩阵,这个矩阵自乘n-1次,再来乘以初始矩阵init{0,0,0,0,0,0,0,1}后,变成矩阵ans{x,x,x,x,x,x,x,y},y就是答案了,而x不必管。

  主要在这个矩阵的构造,假设棋盘是放竖直的(即n*3),那么考虑在第i行进行填放,需要考虑到第i-1行的所有可能的状态(注意i-2行必须是已经填满了,否则第i行无法填到i-2行去)。放的时候有个规则,就是所放的每块1*2的骨牌,必须放有一半以上是在第i行的,而且不允许放到第i+1行去。其实就是根据3种选择来考虑变换,(1)不放(2)放横(3)放竖。

  下图假设即将填第i+1行。

  上图的编号代表了第i行的状态。

  上图就是从第i行可以转移到第i+1行的状态。matrix[i][j]表示第i行的状态i转移到第i+1行的状态j的方案数,空格为0。

  举个例子:第i行的状态为3,那么它只放一块骨牌时(即填满右上角的一个空格),转为4。如果放两块(即在4的基础上再放一块横的),就转为7。

  上面只需要特别注意所假设的东西,而且要按照规则来放才行。

  2ms

 #include <bits/stdc++.h>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define pii pair<int,int>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
using namespace std;
const int N=1e5+;
const int mod=;
int M[][]={,,,,,,,,
,,,,,,,,
,,,,,,,,
,,,,,,,,
,,,,,,,,
,,,,,,,,
,,,,,,,,
,,,,,,,}; //初始矩阵M int init[]={,,,,,,,}; //初始状态
int tot[][], cur[][], grid[][]; //临时的矩阵 void mul(int A[][],int B[][]) //处理两个8*8的矩阵相乘,并保存到A中
{
for(int i=; i<; i++)
{
for(int j=; j<; j++)
{
int tmp=;
for(int k=; k<; k++)
{
tmp+=A[i][k]*B[k][j];
tmp%=mod;
}
grid[i][j]=tmp;
}
}
memcpy(A, grid, sizeof(grid));
} int cal(int n)
{
memcpy(tot, M, sizeof(M));
memcpy(cur, M, sizeof(M));
n--; //tot已经是2^0了,所以自减1.
while(n)
{
if(n&==) mul(tot, cur); //末位为1时,累乘到tot中
mul(cur, cur); //翻倍
n>>=;
}
return tot[][];
} int main()
{
freopen("input.txt", "r", stdin);
int n;
while(~scanf("%d",&n)) printf("%d\n", cal(n));
return ;
}

AC代码

  还有一种方案仅需0ms。即递推,这个需要研究一下递推式,考虑各种情况的变化。不写了。

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