COJ 1208 矩阵快速幂DP

　　题目大意：

f(i) 是一个斐波那契数列 ， 求sum(f(i)^k)的总和

由于n极大，所以考虑矩阵快速幂加速

我们要求解最后的sum[n]

首先我们需要思考

sum[n] = sum[n-1] + f(i+1)^k

那么很显然sum[n-1]是矩阵中的一个元素块

那么f(i+1)^k怎么利用f(i) , f(i-1)来求

f(i+1)^k = （f(i) + f(i-1)) ^ k

假如k = 1 , 可以看出f(i+1） = f(i-1) + f(i) (1,1)

k = 2 , 可以看出f(i+1)^2 = f(i-1)^2 + 2*f(i-1)*f(i) + f(i)^2 (1 , 2 , 1)

后面只列出前面的因子 k=3          1 , 3 , 3 , 1

　　　　　　　　　　k =4          1, 4 ,6,4,1

　　　　　　　　很容易看出后一行的数是由前一行的数当前列和前一列的相加

那么这里要放入矩阵中思考的就是 f(i-1)^k , f(i-1)^(k-1)*f(i) ...... f(i)^k , sum[i] 这样 k+2 个元素

那么做矩阵快速幂就是利用f(i-1)^k , f(i-1)^(k-1)*f(i) ...... f(i)^k , sum[i]  乘以某一个矩阵得到

f(i)^k , f(i)^(k-1)*f(i+1) ...... f(i+1)^k , sum[i+1]

自己一个个递推就会渐渐利用上述的关系轻松得到这个矩阵

 #include <cstdio>
 #include <cstring>

 using namespace std;
 #define N 100
 #define ll long long
 const int MOD = ;
 int n , k , l;
 int num[N];

 struct Matrix{
     int a[N][N];
     Matrix operator*(const Matrix &m) const{
         Matrix ans ;
         for(int i= ; i<l ; i++){
             for(int j= ; j<l ; j++){
                 ans.a[i][j] = ;
                 for(int k= ; k<l ; k++){
                     ans.a[i][j] += ((ll)a[i][k] * m.a[k][j])%MOD;
                     ans.a[i][j] %= MOD;
                 }
             }
         }
         return ans;
     }
 }st;

 Matrix q_pow(Matrix b , int t)
 {
     Matrix ans;
     memset(ans.a ,  , sizeof(ans));
     for(int i= ; i<l ; i++) ans.a[i][i] = ;
     while(t)
     {
         if(t&) ans = ans*b;
         b = b*b;
         t>>=;
     }
     return ans;
 }

 void build_matrix()
 {
     memset(st.a ,  , sizeof(st.a));
     st.a[l-][] = ;
     for(int i= ; i<l- ; i++){
         for(int j=l- , t= ; t<=i ; t++,j--){
             st.a[j][i] = st.a[j][i-]+st.a[j+][i-];
         }
     }
     for(int i= ; i<l- ; i++)
         st.a[i][l-] = st.a[i][l-];
     st.a[l-][l-] = ;
 }

 int main()
 {
     #ifndef ONLINE_JUDGE
         freopen("a.in" , "r" , stdin);
     #endif // ONLINE_JUDGE
     int T;
     scanf("%d" , &T);
     while(T--)
     {
         scanf("%d%d" , &n , &k);
         l = k+;
         build_matrix();
         for(int i= ; i<l- ; i++){
             num[i] = ;
         }
         num[l-] = ;
         if(n<=) printf("%d\n" , n);
         else{
             Matrix ans = q_pow(st , n-);
             int ret = ;
             for(int i= ; i<l ; i++){
                 ret += num[i]*ans.a[i][l-]%MOD;
                 ret %= MOD;
             }
             printf("%d\n" , ret);
         }
     }
     return ;
 }