关于 k 进制线性基

本质还是高斯消元，使其成为上三角矩阵。但是 \(k\) 不一定是质数。

但我们不需要保证已有数字不改变，只要维护的是一个上三角矩阵就行。所以我们可以利用更相减损让其中一个向量的最高位 \(= 0\) 。然后插入即可。正确性的证明同二进制线性基。

然后来到了查询环节。在二进制下，异或两次就等于没异或，所以容易判断。但是在这里，一个数的异或次数是不固定的。更糟的是，很有可能有多种方式取得最大值。

举个例子。当前 \(k = 8\) ，最高位 \(= 6\) ，初始数字 \(x = 0\) 。显然异或一次得到 \(6\) 是最好的。但是，异或五次同样可以得到 \(6\) ，而且对后面有影响！

这里就要用一个类似完全背包的操作了。因为，我们确信，如果最高位是 \(v(v\ne 0)\)，那么异或这个数 \(\frac{k}{\gcd(k,v)}\) 次，在当前位的异或值不会变。

那么，只要在线性基里额外插入一个当前位置的数的 \(\frac{k}{\gcd(k,v)}\) 次异或值，就会自动完成对后面位置的修正。

最后算一下时间复杂度：

首先计算插入，不妨设 \(k\le x\)，否则整个算法是 \(\mathcal O(q+\log x)\) 的。辗转相除最多 \(\mathcal O(\log_2 k)\) 次，每次要 \(\mathcal O(\log_kx)\) 把一整行的信息全部修改，并且每个数字必然从头到尾访问所有 \(\mathcal O(\log_k x)\) 个元素（因为有了上面的 “修正法案”，插入成功也会继续往下尝试插入），复杂度 \(\mathcal O(\log_2 x\cdot \log_k x)\) 。

然后计算查询，仍然设 \(k\le x\)，否则整个算法是 \(\mathcal O(q\log x)\) 的。对于每一位，我们要计算当前位可以得到的最小值，这需要 \(\mathcal O(\log_k x)\) 的行向量操作。一共 \(\mathcal O(\log_k x)\) 行，总复杂度 \(\mathcal O(\log_k^2x)\) 。

「IOI2021国家队选拔」术数树

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int q, k, m;
struct Vector {
    int a[31];
    Vector(int _x = 0) {
        memset(a, 0, sizeof(a));
        for (int i = 0; _x; i++) {
            a[i] = _x % k;
            _x /= k;
        }
    }
    inline int &operator[](int t) { return a[t]; }
    inline Vector operator+(Vector b) {
        Vector res;
        for (int i = 0; i < m; i++) res[i] = (a[i] + b[i]) % k;
        return res;
    }
    inline Vector operator-(Vector b) {
        Vector res;
        for (int i = 0; i < m; i++) res[i] = (a[i] - b[i] + k) % k;
        return res;
    }
    inline Vector operator*(int b) {
        Vector res;
        for (int i = 0; i < m; i++) res[i] = 1ll * b * a[i] % k;
        return res;
    }
} bas[31], dis[200005];
int gcd(int x, int y) { return y ? gcd(y, x % y) : x; }
void exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (!b) {
        x = 1;
        y = 0;
        return;
    }
    exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
}
inline int Inv(int x) {
    int a, b;
    exgcd(x, k, a, b);
    return (a + k) % k;
}
inline void insert(Vector x) {
    for (int i = m - 1; ~i; i--) {
        if (!x[i])
            continue;
        if (!bas[i][i]) {
            bas[i] = x * Inv(x[i]);
            x = x * (k / gcd(k, x[i]));
        }
        while (x[i]) {
            int t = bas[i][i] / x[i];
            bas[i] = bas[i] - x * t;
            swap(x, bas[i]);
        }
    }
}
inline Vector query(Vector x) {
    for (int i = m - 1; ~i; i--) {
        if (!bas[i][i])
            continue;
        x = x - bas[i] * (x[i] / bas[i][i]);
    }
    return x;
}
int fa[19][200005], dep[200005];
inline int lca(int x, int y) {
    if (dep[x] < dep[y])
        swap(x, y);
    for (int i = 18; ~i; i--)
        if (dep[fa[i][x]] >= dep[y])
            x = fa[i][x];
    if (x == y)
        return x;
    for (int i = 18; ~i; i--) {
        if (fa[i][x] != fa[i][y])
            x = fa[i][x], y = fa[i][y];
    }
    return fa[0][x];
}
int tot = 1;
inline Vector dist(int x, int y) {
    int lc = lca(x, y);
    return dis[x] + dis[y] - dis[lc] * 2;
}
int main() {
    freopen("city.in", "r", stdin);
    freopen("city.out", "w", stdout);
    scanf("%d%d%d", &q, &k, &m);
    for (int i = 0; i < 19; i++) fa[i][1] = 1;
    while (q--) {
        int op, x, y, v;
        scanf("%d", &op);
        if (op == 1) {
            scanf("%d%d", &x, &v);
            insert(Vector(v) + Vector(v));
            dis[++tot] = dis[x] + Vector(v);
            dep[tot] = dep[x] + 1;
            fa[0][tot] = x;
            for (int i = 1; i < 19; i++) fa[i][tot] = fa[i - 1][fa[i - 1][tot]];
        } else if (op == 2) {
            int x, y, v;
            scanf("%d%d%d", &x, &y, &v);
            insert(dist(x, y) + Vector(v));
        } else {
            scanf("%d%d", &x, &y);
            Vector tmp = query(dist(x, y));
            long long res = 0;
            for (int i = m - 1; ~i; i--) res = k * res + tmp[i];
            printf("%lld\n", res);
        }
    }

    return 0;
}