【模板】2-SAT 问题

题目背景

2-SAT 问题模板

题目描述

有n个布尔变量 $x_1$ ~ $x_n$ ，另有m个需要满足的条件，每个条件的形式都是“ $x_i$ 为true/false或 $x_j$ 为true/false”。比如“ $x_1$ 为真或 $x_3$ 为假”、“ $x_7$ 为假或 $x_2$ 为假”。2-SAT 问题的目标是给每个变量赋值使得所有条件得到满足。

输入输出格式

输入格式：

第一行两个整数n和m，意义如体面所述。

接下来m行每行4个整数 i a j b，表示“ $x_i$ 为a或 $x_j$ 为b”(a,b∈{0,1})

输出格式：

如无解，输出“IMPOSSIBLE”（不带引号）; 否则输出"POSSIBLE"（不带引号),下一行n个整数 $x_1$ ~ $x_n$ ($x_i$∈{0,1})，表示构造出的解。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

3 1

1 1 3 0

输出样例#1： 复制

POSSIBLE

0 0 0

题解

谈谈理解？

只会$n+m$时间复杂度的算法。

对于一个2-sat问题。有如下三种情况

1.如果A=1 那么 B=1

转化为图论思想，如果我要选A则必须选B

不选A则一定不选B

对(A,B),(B^1,A1)建边。

2.要么A=1,要么B=1

那就是

选A就不选B(A,B^1),

选B就不选A(B,A^1)

3.A一定要选

直接连边(A^1,A)

首先可以知道， $x_{i,0}$ 和 $x_{i,1}$ 必须选择且仅选择一个。那么，因为 $x_i=a$ 一定满足，则 $x_i!=a$ 的点不可以取。那么，直接建边 $(x_{i,a\oplus1}x_{i,a})$ 可以控制 $x_{i,a\oplus1}$, 这个点一定不可选择，否则无解。

然后用tarjan求一遍强联通分量。可以发现每一个强联通分量里面的情况是要么选就一起选，不选就一起不选的。当一个条件与它的反条件同时被选取，即在一个强联通分量时，是不成立的。要么就是成立的。

那么输出呢？怎么保证输出的方案是正确？

根据2-sat的对称原则。如果连的是双向边，那么整个图就是对称的。那么为什么比较拓扑序就一定正确呢？

因为由对称原则强联通分量一定也是相同的。而根据强联通分量被标记的时间顺序，拓扑序一定能保证每个问题有正确解。

（好吧，还是有点绕）

代码

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<iostream>

#include<algorithm>

#include<queue>

using namespace std;

const int N=3000001;

int head[N],dfn[N],low[N];

int id,tot,num,cnt;

int n,m,top;

int vis[N],line[N],bl[N];

struct node{

    int to,nex;

}e[N<<1];

int read(){

    int x=0,w=1;char ch=getchar();

    while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}

    while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();

    return x*w;

}

void add(int from,int to){

    num++;

    e[num].to=to;

    e[num].nex=head[from];

    head[from]=num;

}

void tarjan(int x){

    dfn[x]=low[x]=++id;

    line[++top]=x;vis[x]=1;

    for(int i=head[x];i;i=e[i].nex){

        int v=e[i].to;

        if(!dfn[v]){

            tarjan(v);

            low[x]=min(low[x],low[v]);

        }

        else if(vis[v])

        low[x]=min(low[x],dfn[v]);

    }

    if(low[x]==dfn[x]){

        cnt++;

        while(line[top+1]!=x){

            int u=line[top];

            bl[u]=cnt;

            vis[u]=0;

            top--;

        }

    }

}

bool T_sat(){

    for(int i=1;i<=n+n;i++)

    if(!dfn[i])tarjan(i);

    for(int i=1;i<=n;i++)

    if(bl[i]==bl[n+i])return false;

    return true;

}

int main(){

    n=read();m=read();

    for(int i=1;i<=m;i++){

        int x=read(),a=read(),y=read(),b=read();

        add(x+n*(a^1),y+n*b);add(y+n*(b^1),x+n*a);

    }

    if(T_sat()){

        printf("POSSIBLE\n");

        for(int i=1;i<=n;i++)

        printf("%d ",bl[i]>bl[i+n]);

    }

    else printf("IMPOSSIBLE\n");

    return 0;

}