AI：IPPR的模式生成-学习/训练方式(基本结构)

前言：
        一个完备的模式识别系统，必然包含一个模式识别模型，此外还要附加一个评价模型，以及为了构建识别模型而构建的学习模型，并选择在学习模型中使用的学习方法。

否则

 w=w

这样，）那样的δ递推，也就是灵敏度反向传播回来。另外，需要乘以输入patch与输出像素之间连接的权值，这个权值实际上就是卷积核的权值（已旋转的）。

在这之前，我们需要先将核旋转一下，让卷积函数可以实施互相关计算。另外，我们需要对卷积边界进行处理，但在Matlab里面，就比较容易处理。Matlab中全卷积会对缺少的输入像素补0。

到这里，我们就可以对b和β计算梯度了。首先，加性基b的计算和上面卷积层的一样，对灵敏度map中所有元素加起来就可以了：

而对于乘性偏置β，因为涉及到了在前向传播过程中下采样map的计算，所以我们最好在前向的过程中保存好这些maps，这样在反向的计算中就不用重新计算了。我们定义：

这样，对β的梯度就可以用下面的方式计算：

3.3、Learning Combinations of Feature Maps学习特征map的组合

大部分时候，通过卷积多个输入maps，然后再对这些卷积值求和得到一个输出map，这样的效果往往是比较好的。在一些文献中，一般是人工选择哪些输入maps去组合得到一个输出map。但我们这里尝试去让CNN在训练的过程中学习这些组合，也就是让网络自己学习挑选哪些输入maps来计算得到输出map才是最好的。我们用αij表示在得到第j个输出map的其中第i个输入map的权值或者贡献。这样，第j个输出map可以表示为：

需要满足约束：

这些对变量αij的约束可以通过将变量αij表示为一个组无约束的隐含权值c_ij的softmax函数来加强。（因为softmax的因变量是自变量的指数函数，他们的变化率会不同）。

因为对于一个固定的j来说，每组权值c_ij都是和其他组的权值独立的，所以为了方面描述，我们把下标j去掉，只考虑一个map的更新，其他map的更新是一样的过程，只是map的索引j不同而已。

Softmax函数的导数表示为：

这里的δ是Kronecker delta。对于误差对于第l层变量αi的导数为：

最后就可以通过链式规则去求得代价函数关于权值c_i的偏导数了：

3.3.1、Enforcing Sparse Combinations加强稀疏性组合

为了限制αi是稀疏的，也就是限制一个输出map只与某些而不是全部的输入maps相连。我们在整体代价函数里增加稀疏约束项Ω(α)。对于单个样本，重写代价函数为：

然后寻找这个规则化约束项对权值ci求导的贡献。规则化项Ω(α)对αi求导是：

然后，通过链式法则，对ci的求导是：

所以，权值ci最后的梯度是：

3.4、Making it Fast with MATLAB

CNN的训练主要是在卷积层和子采样层的交互上，其主要的计算瓶颈是：

1）前向传播过程：下采样每个卷积层的maps；

2）反向传播过程：上采样高层子采样层的灵敏度map，以匹配底层的卷积层输出maps的大小；

3）sigmoid的运用和求导。

对于第一和第二个问题，我们考虑的是如何用Matlab内置的图像处理函数去实现上采样和下采样的操作。对于上采样，imresize函数可以搞定，但需要很大的开销。一个比较快速的版本是使用Kronecker乘积函数kron。通过一个全一矩阵ones来和我们需要上采样的矩阵进行Kronecker乘积，就可以实现上采样的效果。对于前向传播过程中的下采样，imresize并没有提供在缩小图像的过程中还计算nxn块内像素的和的功能，所以没法用。一个比较好和快速的方法是用一个全一的卷积核来卷积图像，然后简单的通过标准的索引方法来采样最后卷积结果。例如，如果下采样的域是2x2的，那么我们可以用2x2的元素全是1的卷积核来卷积图像。然后再卷积后的图像中，我们每个2个点采集一次数据，y=x(1:2:end,1:2:end)，这样就可以得到了两倍下采样，同时执行求和的效果。

对于第三个问题，实际上有些人以为Matlab中对sigmoid函数进行inline的定义会更快，其实不然，Matlab与C/C++等等语言不一样，Matlab的inline反而比普通的函数定义更费时间。所以，我们可以直接在代码中使用计算sigmoid函数及其导数的真实代码。

总结

此文主要描述了基本CNN的反向传播过程。包括作为分类器的SoftMax层和FCN层，以及作为特征提取的卷积层和Pooling层的参数更新。