矩阵连乘问题的算法复杂度的计算--卡塔兰数(Catalan数)的数学推导和近似公式

author: cust-- ZKe

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这里以连乘积加括号问题为背景:

　　由于矩阵的乘积满足结合律，且矩阵乘积必须满足左边矩阵的列数的等于右边矩阵的行数，不同的计算顺序，需要的乘法运算次数不一样。加括号可以改变计算顺序，合理安排计算顺序可以大大降低计算次数。
　　给乘积算式加括号的方法数是一个计数问题。它的模型是卡特兰数。
比如有矩阵A,B,C,D，有五种加括号方式
((A*B)*C)*D
(A*(B*C))*D
(A*B)*(C*D)
A*(B*(C*D))
A*((B*C)*D)
　　可见，无论是哪种加括号的方式，总有一个'*'运算符在最外面的括号的外面，以它作为分隔符，就好像是a*b一样只有两个参与运算的乘数，比如A*(B*C*D),而这里的B*C*D同样是一个有待加括号的乘积算式,这就说明，加括号可以作为一个递推问题求解。

　　(不会用博客园编辑latex，再次截图编辑的latex.....)

这样，就引入了卡塔兰数的定义，接下来我们证明该公式。大家只需要掌握《高等数学》的幂级数，柯西乘积，定积分和《离散数学》的牛顿二项式定理，生成函数即可

这样就证明了该公式，最后我们来求解一下近似公式，毕竟在算法中我们需要估计函数的阶，才能了解算法的复杂度

这个就更简单了，大家只需要了解斯特林公式即可，它仍然可以在《离散数学》计数问题里面找到

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CUST, ZKe