CF 1400F x-prime Substrings 题解【AC自动机+DP】

CF 1400F.x-prime Substrings

题意：

给定一个由\('1'\)到\('9'\)组成的字符串\(s\)和一个数\(x\)，定义一个串为\(x-prime\)串，当且仅当这个串上的数字和为\(x\)，且任意一个不等于本身的子串的和都不是\(x\)的因子，问最少删多少个数字可以使得串\(s\)的任何子串都不是\(x-prime\)串

\(1 \le |s| \le 1000,1 \le x \le 20\)

题解：

由于\(x\)很小，所以我们可以枚举所有\(x-prime\)串，然后把所有的\(x-prime\)串放到\(Trie\)里面去，因为我们需要原串中没有\(x-prime\)串，考虑把所有\(x-prime\)串建AC自动机，然后我们跑一遍\(dp\)，\(dp[i][j]\)表示\(s\)串中的第\(i\)位匹配了自动机上的状态\(j\)的情况下的最小删除数量

枚举自动机所有的状态\(j\)，那么存在两种转移：

1. 删除下一个点，\(dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i-1][j]+1)\)
2. 走到自动机的下一个点，\(dp[i][trans[j]] = min(dp[i][trans[j],dp[i-1][j])\)

其中第二种转移必须要求AC自动机的下一个点没有匹配到任何的\(x-prime\)串

由于每个状态只与上一层有关，可以把\(dp\)数组变为滚动数组

那么，这道题就完成了

view code

#pragma GCC optimize("O3")
#pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define endl "\n"
#define LL long long int
#define vi vector<int>
#define vl vector<LL>
#define all(V) V.begin(),V.end()
#define sci(x) scanf("%d",&x)
#define scl(x) scanf("%I64d",&x)
#define scs(x) scanf("%s",s)
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<LL,LL>
#ifndef ONLINE_JUDGE
#define cout cerr
#endif
#define cmax(a,b) ((a) = (a) > (b) ? (a) : (b))
#define cmin(a,b) ((a) = (a) < (b) ? (a) : (b))
#define debug(x)  cerr << #x << " = " << x << endl
function<void(void)> ____ = [](){ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);};
template <typename T> vector<T>& operator << (vector<T> &__container, T x){ __container.push_back(x); return __container; }
template <typename T> ostream& operator << (ostream &out, vector<T> &__container){ for(T _ : __container) out << _ << ' '; return out; }
const int MAXN = 1111;
struct AC_automaton{
    int ch[MAXN<<5][9],fail[MAXN<<5],tot;
    bool tag[MAXN<<5];
    void insert(string s){
        int p = 0;
        for(int i = 0; i < (int)s.size(); i++){
            int c = s[i] - '1';
            if(!ch[p][c]) ch[p][c] = ++tot;
            p = ch[p][c];
        }
        tag[p] = true;
    }
    void build_fail(){
        queue<int> que;
        for(int i = 0; i < 9; i++) if(ch[0][i]) que.push(ch[0][i]);
        while(!que.empty()){
            int u = que.front();
            que.pop();
            for(int i = 0; i < 9; i++){
                if(!ch[u][i]) { ch[u][i] = ch[fail[u]][i]; continue; }
                que.push(ch[u][i]);
                int v = ch[u][i];
                int pre = fail[u];
                while(pre and !ch[pre][i]) pre = fail[pre];
                fail[v] = ch[pre][i];
                tag[v] |= tag[fail[v]];
            }
        }
    }
    int DP(string &s){
        vector<int> f(tot+1,INF);
        f[0] = 0;
        for(char &c : s){
            int x = c - '1';
            vector<int> next_f(tot+1,INF);
            for(int i = 0; i <= tot; i++){
                if(f[i]==INF) continue;
                cmin(next_f[i],f[i]+1);
                if(!tag[ch[i][x]]) cmin(next_f[ch[i][x]],f[i]);
            }
            f.swap(next_f);
        }
        return *min_element(all(f));
    }
}aho;

bool check(string &dig, int x){
    vector<int> pre(dig.size());
    pre[0] = dig[0] - '0';
    for(int i = 1; i < (int)dig.size(); i++) pre[i] = pre[i-1] + dig[i] - '0';
    for(int i = 0; i < (int)dig.size(); i++){
        for(int j = i; j < (int)dig.size(); j++){
            int S = pre[j] - (i==0?0:pre[i-1]);
            if(S!=x and x%S==0) return false;
        }
    }
    return true;
}
void search_dig_string(string &dig, int sum, int x){
    if(sum==x){
        if(check(dig,x)) aho.insert(dig);
        return;
    }
    for(int i = 1; i < 10; i++){
        if(sum+i>x) return;
        dig.push_back(i+'0');
        search_dig_string(dig,sum+i,x);
        dig.pop_back();
    }
}
void solve(){
    string str;
    int x;
    cin >> str >> x;
    string dig("");
    search_dig_string(dig,0,x);
    aho.build_fail();
    cout << aho.DP(str) << endl;
}
int main(){
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("Local.in","r",stdin);
    freopen("ans.out","w",stdout);
    #endif
    solve();
    return 0;
}