题解-Little C Loves 3 III

Little C Loves 3 III

给定 \(n\) 和序列 \(a_0,a_1,\dots,a_{2^n-1}\) 和 \(b_0,b_1,\dots,b_{2^n-1}\)，求序列 \(c_0,c_1,\dots,c_{2^n-1}\) 满足

\[c_i=\left(\sum_{j|k=i,j\&k=0} a_j\cdot b_k\right)\bmod 4
\]

数据范围：\(a_i,b_i\in[0,3]\)，\(0\le n\le 21\)。

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看到 \(j|k=i\) 便知道要搞个 \(or\) 运算的 \(\texttt{FWT}\)，但是如何使得同时满足条件 \(j\&k=0\) 呢？

设 \(bits(x)\) 表示 \(x\) 在二进制下的位数。

考虑如下 \(3\) 个可以利用的因素：

1. \(\bmod 4\) 相当于在二进制下取两位。

2. 同时满足 \(j|k=i,j\&k=0\) 必有 \(bits(j)+bits(k)=bits(i)\)。

3. 如果满足 \(j|k=i\)，且 \(bits(i)\) 一定，必有 \(bits(j)+bits(k)\ge bits(i)\)。

所以可以令 \(f_i=a_i\cdot 4^{bits(i)},g_i=b_i\cdot 4^{bits(i)}\)，通过 \(\texttt{FWT}\) 得到 \(ans_i=\sum_{j|k=i}f_j\cdot g_k\)，然后最后的答案 \(c_i=\left(\frac{ans_i}{4^{bits(i)}}\right)\bmod 4\)。

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抽象地解释一下：

\(\texttt{[]}\) 表示两个二进制位（为 \(0\)），\(\texttt{<>}\) 表示其他（除了答案两位）位的值，是由 \(c_i\) 溢出两位或者由满足 \(bits(j)+bits(k)>bits(i)\) 的 \(j,k\) 变换得的值，可以抛弃。

\(f_j:a_j\underbrace{\texttt{[][]...[][]}}_{bits(j)'s \texttt{[]}}\)

\(g_k:b_k\underbrace{\texttt{[][]...[][]}}_{bits(k)'s \texttt{[]}}\)

\(ans_i:\texttt{<><>...<><>}c_i\underbrace{\texttt{[][]...[][]}}_{bits(i)'s \texttt{[]}}\)

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小蒟蒻或许讲不清楚，但我就这个水平了。放代码吧，注意 \(f_j,g_k\) 开 \(\texttt{long long}\)。

//Data
const int M=21,N=1<<M;
int n,m,bit[N+7];
int bits(int x){return (x==0)?0:bit[x]?bit[x]:(bit[x]=bits(x-(x&-x))+1);}

//FWT
void fwt(lng f[],int t){ //or fwt 模板
	for(int mid=1;mid<n;mid<<=1)
		for(int i=0;i<n;i+=mid<<1)
			for(int j=i;j<mid+i;j++) f[mid+j]+=f[j]*t;
}
lng f[N+7],g[N+7],ans[N+7];

//Main
int main(){
	n=1<<(m=ri);
	for(int i=0,c;i<n;i++){
		while(!isdigit(c=fr()));
		f[i]=(15ll&c)<<(bits(i)<<1);
                //这题是在 CF 上交的，有很多奇奇怪怪的错误，反正这里只能写 15ll&c，写 (lng)(c-'0') 都会挂
	}
	for(int i=0,c;i<n;i++){
		while(!isdigit(c=fr()));
		g[i]=(15ll&c)<<(bits(i)<<1);
	}
	fwt(f,1),fwt(g,1);
	for(int i=0;i<n;i++) ans[i]=f[i]*g[i]; // CF 会显示这里挂了
	fwt(ans,-1);
	for(int i=0;i<n;i++) printf("%lld",(ans[i]>>(bits(i)<<1))&3);
	putchar('\n');
	return 0;
}

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萌新初学多项式，巨佬多多指教，觉得写得不清楚就在评论中随意 \(\texttt{D}\)。祝大家学习愉快！